[論文レビュー] On exponential functionals, harmonic potential measures and undershoots of subordinators

Larbi Alili, Wissem Jedidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、サブオルダレーターの指数的関数的量 $ I $ の分布とそのハーモニックポテンシャル測度の間の直接的な関係を確立し、$ \log I $ が無限に可除であるための必要十分条件を、レヴィ測度の観点から提示する。$ \log I $ と $ \log R $ のモーメント母関数を無限積を用いて導出し、剰余確率変数 $ R $ をサブオルダレーターの各最終通過時刻の無限積として特徴づける。

ABSTRACT

We establish a link between the distribution of an exponential functional I and the undershoots of a subordinator, which is given in terms of the associated harmonic potential measure. This allows us to give a necessary and sufficient condition in terms of the Lévy measure for the exponential functional to be multiplicative infinitely divisible. We then provide a formula for the moment generating function of an exponential functional $I$ and the so called remainder random variable $R$ associated to it. We provide a realization of the remainder random variable $R$ as an infinite product involving independent last position random variables of the subordinator. Some properties of harmonic measures are obtained and some examples are provided.

研究の動機と目的

• サブオルダレーターの指数的関数的量 $ I $ の分布とそのハーモニックポテンシャル測度の間の関係を確立すること。
• レヴィ測度の観点から、$ \log I $ が無限に可除であるための必要十分条件を導出すること。
• $ \log I $ および $ I $ に関連する剰余変数 $ \log R $ のモーメント母関数に対する明示的公式を提供すること。
• 剰余確率変数 $ R $ をサブオルダレーターの独立な最終通過時刻の無限積として表現すること。
• $ \log I $ および $ \log R $ のレヴィ測度を特徴づけ、ハーモニックポテンシャル測度の性質を調査すること。

提案手法

• サブオルダレーターのハーモニックポテンシャル測度（h.p.m.）を、$ I $ の分布とサブオルダレーターのアンダーストロークの関係を結ぶ主要な道具として用いる。
• レヴィ＝キンチンの表現とラプラス指数 $ \phi(\lambda) $ を用い、$ \log I $ および $ \log R $ のモーメント母関数を $ \phi $ を含む無限積として表現する。
• 恒等式 $ IR \stackrel{d}{=} \mathbf{e} $（$ \mathbf{e} $ は標準指数分布）を用いてモーメントの公式を導出し、$ R $ を特徴づける。
• 時間・空間反転とポアソン点過程を用いて、サブオルダレーターのハーモニックポテンシャル測度を導出し、特にドリフト項と有限レヴィ測度を持つ場合を含む。
• フリスティートの公式とサブオルダレーターの再生構造を用い、ハーモニックポテンシャル測度を最初の通過時刻に関連する期待値の和として表現する。
• ガンマ分布および一般化ガンマ畳み込みに関する既知の恒等式を用い、$ \log R $ のレヴィ測度を片側リニク分布に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブオルダレーターのハーモニックポテンシャル測度とその指数的関数的量 $ I $ の分布との間の正確な関係は何か？
• RQ2 レヴィ測度にどのような条件下で $ \log I $ が無限に可除となるか？
• RQ3 $ \log I $ および $ \log R $ のモーメント母関数は、ラプラス指数 $ \phi $ を含む無限積として表現可能か？
• RQ4 剰余確率変数 $ R $ は、最終通過時刻の無限積としてどのように表現できるか？
• RQ5 $ \log I $ および $ \log R $ のレヴィ測度は何か？ また、片側リニク分布のような既知の分布とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$ \log I $ が無限に可除であるための必要十分条件として、サブオルダレーターのレヴィ測度 $ \Pi $ がハーモニックポテンシャル測度を含む特定の条件を満たすことであると確立した。
• $ \log I $ のモーメント母関数は無限積として与えられる：$ \mathbf{E}[e^{\lambda \log I}] = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\phi(n)} $ であり、同様に $ \mathbf{E}[e^{\lambda \log R}] = \prod_{n=1}^{\infty} \phi(n) $ が成り立つ。
• 剰余確率変数 $ R $ は、サブオルダレーターの独立な最終通過時刻の無限積として表現可能であり、ガンマ変数に関する既知の恒等式を拡張するものである。
• 安定サブオルダレーターの仮定の下で、$ \log I $ のレヴィ測度の密度は、$ x < 0 $ に対して $ \frac{e^x}{|x|(1-e^x)} \left( (1-\alpha) + \alpha \mathbf{E}[1 - e^{-q(-x)^\alpha (S^\alpha_1)^{-\alpha}}] \right) $ に比例する。
• $ \log R $ のレヴィ測度は、片側リニク確率変数の分布に関して絶対連続であり、これら2つのクラスの間の新たな関係を確立した。
• ラプラス指数 $ \phi(\lambda) = \lambda + c(1 - (1+\lambda)^{-\beta}) $ を持つサブオルダレーターに対して、ハーモニックポテンシャル測度が明示的に計算され、$ \left(1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c^n x^{n(1+\beta)} \Gamma(n\beta)}{n \Gamma(n(1+\beta))} \right) e^{-cx} x^{-1} dx $ として得られた。