[論文レビュー] On exponential growth for a certain class of linear systems

Ryoki Fukushima, Nobuo Yoshida|arXiv (Cornell University)|May 30, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、整数格子上の空間的確率的成長過程の広いクラスについて、生存する限り、集団の質量がほとんど確実に指数関数的に増加することを確立する。主な結果は、集団が指数関数的に成長する一意の確率的開路が存在することを示し、系の遷移確率から明示的な成長率の下界が導出されることを示している。

ABSTRACT

We consider a class of stochastic growth models on the integer lattice which includes various interesting examples such as the number of open paths in oriented percolation and the binary contact path process. Under some mild assumptions, we show that the total mass of the process grows exponentially in time whenever it survives. More precisely, we prove that there exists an open path, oriented in time, along which the mass grows exponentially fast.

研究の動機と目的

• 空間的確率的成長モデルが生存する場合に、指数的集団成長を示すかを特定すること。
• 古典的なガルトン＝ウォーソンの指数的成長結果を、空間的に構造化され、相関関係があり、マルコフでない系へ一般化すること。
• 集団が指数関数的に急速に成長する一意の確率的経路の存在を確立すること。
• 遷移確率および生存確率の観点から、指数的成長率の明示的な下界を導出すること。
• 離散時間の結果を時間離散化および結合技術を用いて連続時間モデルへ拡張すること。

提案手法

• 独立同分布の確率的行列 $B_n$ を用いて、$\mathbb{Z}^d$ 上の線形確率的過程のクラスを形式化し、それらは平行移動不変分布を持つ。
• 各サイトにおける集団質量を追跡するため、過程 $M_n$ を行列積 $\delta_{o,x} B_1 \cdots B_n$ として定義する。
• 遷移 $B_{n+1,\Gamma(n),\Gamma(n+1)} \geq 1$ が発生する「開路」$\Gamma(n)$ の概念を導入し、系統の連続性を保証する。
• 成長可能性を定量化するため、生存確率 $c_\delta(B_1) = \mathbb{P}(|M_n| \geq 1 \text{ for all } n) \cdot \sup_x \mathbb{P}(B_{o,x} \geq 1+\delta)$ を定義する。
• 大偏差および再生型の議論を適用し、生存上ではほとんど確実に $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log M_{n,\Gamma(n)} \geq c_{\delta-\epsilon}(B_1) \log(1+\delta-\epsilon)$ を示す。
• ジャンプ時刻を離散化し、離散時間類似物と結合することで連続時間モデルへ拡張し、類似する指数的成長下限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の空間的確率的成長過程が生存する場合、全集団質量は時間とともに指数関数的に増加するか？
• RQ2 このような系において、常に集団が指数関数的に急速に成長する一意の確率的経路が存在するか？
• RQ3 系の遷移確率および生存可能性から、指数的成長率の明示的な下界を導出できるか？
• RQ4 離散時間系と比較して、これらの過程の連続時間版における指数的成長行動はどのように異なるか？
• RQ5 集団質量が指数的に増加しない条件は何か、また成長率の上界は何か？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log M_{n,\Gamma(n)} \geq c_{\delta-\epsilon}(B_1) \log(1+\delta-\epsilon)$ を満たす確率的開路 $\Gamma(n)$ が存在し、生存事象上ではほとんど確実に成り立つ。
• 全集団質量は、生存上ではほとんど確実に $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log |M_n| \geq c_\delta(B_1) \log(1+\delta)$ を満たす。
• 連続時間設定では、ある $\delta > 0$ に対して $\mathbb{P}(\sum_x K_x \geq 1+\delta) > 0$ ならば、生存上ではほとんど確実に $\liminf_{t\to\infty} \frac{1}{t} \log |Y_t| > 0$ が成り立つ。
• もし $\mathbb{P}(\sum_x K_x = 1) = 1$ ならば、ほとんど確実に $\limsup_{t\to\infty} \frac{1}{t} \log |Y_t| \leq 0$ が成り立ち、指数的成長がないことを示している。
• 有限範囲かつすべての $\delta > 0$ に対して $c_\delta(\prod_{k=1}^m B_k)$ が消える系では、成長率は最大でゼロであり、非指数的挙動が確認される。
• 行列要素の独立性仮定や有限範囲制約なしに結果が成り立つため、方向付きパーコレーションや接触過程のようなモデルへ広く適用可能であることが示された。