[論文レビュー] On exposed positive maps: Robertson and Breuer-Hall maps

Dariusz Chruściński|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$M_{2n}(\bb{C})$におけるBreuer-Hall正値写像が、正値写像の凸錐において露わであることを証明している。これは最適性や極値性よりも強い性質である。その結果、Breuer-Hall構成の特殊ケースである$M_4(\bb{C})$におけるRobertson写像が、極値であることに加え露わでもあることが示され、エンタングルメント検出における露わなエンタングルメント・ウィtnessの有用性が強化される。

ABSTRACT

It is well known that so called Breuer-Hall positive maps used in entanglement theory are optimal. We show that these maps possess much more subtle property --- they are exposed. As a byproduct it proves that a Robertson map in the algebra of 4 x 4 complex matrices is not only extreme, which was already shown by Robertson, but also exposed.

研究の動機と目的

• Breuer-Hall正値写像が$M_{2n}(\bb{C})$上の正値写像の凸錐において露わであるかどうかを特定すること。
• 既に極値であることが知られているが、露わであるかどうかは未だ証明されていなかった$M_4(\bb{C})$におけるRobertson写像の露わ性を調査すること。
• 露わ写像がエンタングルメント理論において果たす役割を明確化し、すべてのエンタングルド状態を検出可能であることを示すこと。
• 双対性理論を用いて、露わ写像、双対面、正値写像の構造の間の関係を強化すること。

提案手法

• 凸錐における双対性理論の応用：写像が露わであるとは、その双対面が一意的であることに等しい。
• Breuer-Hall写像の双対面$[\varphi_{BH}]'$を、単位ベクトル$x$に対して$|x\rangle\langle x| \otimes |x\rangle\langle x|$および$|x\rangle\langle x| \otimes |Ux\rangle\langle Ux|$の凸包として特徴付ける。
• 条件$\langle x|\varphi(P_x)|x\rangle = 0$をすべての$x$に対して満たすように、双対双対$[\varphi_{BH}]''$を計算し、反対称行列$A_k$を用いた形$\varphi(X) = \sum_k \lambda_k A_k X^t A_k^*$の写像の族を得る。
• 反対称行列$A_k$が$M_{2n}(\bb{C})$の基底をなすならば、その重み付き和が$|x\rangle\langle x|$に対して$I - |x\rangle\langle x|$を与えるという補題を適用する。
• 正規化と対称性を用いて、双対双対に含まれる正値写像は、$\varphi_{BH}$のスカラー倍のみであることを示し、露わ性を証明する。
• $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$という恒等式を用い、$R_{2n}$が極値ではないが最適写像の面に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Breuer-Hall正値写像は、$M_{2n}(\bb{C})$上の正値写像の凸錐において露わであるか？
• RQ2 Robertson写像は、すでに極値であることが知られているが、$M_4(\bb{C})$において露わであるか？
• RQ3 露わ写像と一意的双対面の双対性が、一般枠組みにおいて露わ性を証明するために利用可能か？
• RQ4 $n > 2$の場合に、削減写像$R_n$と露わ写像との関係は何か？
• RQ5 $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$の構成は、$\varphi_{BH}$が$\varphi_U$から露わ性を継承または獲得するかどうかを示唆するか？

主な発見

• Breuer-Hall写像は$M_{2n}(\bb{C})$において露わであることが証明され、最適性や極値性よりも強い性質であることが示された。
• $M_4(\bb{C})$におけるRobertson写像は、極値であることが知られていたが、本稿では露わであることも示された。
• 双対面$[\varphi_{BH}]'$は、単位ベクトル$x$に対して、$|x\rangle\langle x| \otimes |x\rangle\langle x|$および$|x\rangle\langle x| \otimes |Ux\rangle\langle Ux|$の凸包に正確に一致する。
• 双対双対$[\varphi_{BH}]''$には、$\varphi_{BH}$に比例する写像しか含まれないため、面が露わであることが確認された。
• $n > 2$の場合、削減写像$R_n$は露わではないが、$\varphi_{BH}$と$\varphi_U$という2つの露わ写像の凸結合として表されるため、極値ではない。
• $\varphi_{BH} = R_{2n} - \varphi_U$という恒等式により、削減写像から露わ写像を引くことで再び露わ写像が得られることを示し、正値写像の錐内における構造的関係が明確になった。