[論文レビュー] On Extended Boundary Sequences of Morphic and Sturmian Words

Michel Rigo, Manon Stipulanti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、モーフィックおよびステルミアン語のℓ境界列を調査し、加法的抽象的数進法系において、語のS自動性がそのℓ境界列のS自動性を示すことを証明する。また、ステルミアン語のℓ境界列が、その特徴的ステルミアン語からのスライディングブロック符号によって得られ、別の特徴的ステルミアン語への自己写像の像としても得られることを示し、明示的な複雑度の上限を提示する。

ABSTRACT

Generalizing the notion of the boundary sequence introduced by Chen and Wen, the $n$th term of the $\ell$-boundary sequence of an infinite word is the finite set of pairs $(u,v)$ of prefixes and suffixes of length $\ell$ appearing in factors $uyv$ of length $n+\ell$ ($n\ge \ell\ge 1$). Otherwise stated, for increasing values of $n$, one looks for all pairs of factors of length $\ell$ separated by $n-\ell$ symbols. For the large class of addable abstract numeration systems $S$, we show that if an infinite word is $S$-automatic, then the same holds for its $\ell$-boundary sequence. In particular, they are both morphic (or generated by an HD0L system). To precise the limits of this result, we discuss examples of non-addable numeration systems and $S$-automatic words for which the boundary sequence is nevertheless $S$-automatic and conversely, $S$-automatic words with a boundary sequence that is not $S$-automatic. In the second part of the paper, we study the $\ell$-boundary sequence of a Sturmian word. We show that it is obtained through a sliding block code from the characteristic Sturmian word of the same slope. We also show that it is the image under a morphism of some other characteristic Sturmian word.

研究の動機と目的

• モーフィック語のℓ境界列がモーフィックまたはS自動的である条件を特定すること。
• ステルミアン語に特化したℓ境界列の構造と性質を調査すること。
• 非加法的数進法系と反例を分析することで、一般結果の限界を明確にすること。
• スライディングブロック符号や自己写像といった既知の組合せ的構造と境界列の関係を確立すること。
• ステルミアン語の1境界列の明示的な要因複雑度の公式を導出すること。

提案手法

• チェンとウェンの境界列の一般化として、本稿ではℓ境界列を、長さn+ℓの因子における長さℓの接頭辞と接尾辞のペア(u,v)の集合として定義する。
• 加法的抽象的数進法系の概念を導入し、このような体系においてS自動性がℓ境界列の構成によって保存されることを証明する。
• ステルミアン語に対しては、特徴的ステルミアン語からℓ境界列を生成するスライディングブロック符号を構築する。
• 符号の理論と区間交換変換を用いて、ℓ境界列が別の特徴的ステルミアン語への自己写像の像であることを示す。
• トーラス上の回転や区間分割を含む幾何学的および力学系的手法を用いて、境界ペアの構造を分析する。
• スライディングブロック符号における逆像構造を分析し、語の接頭辞についての帰納法を適用することで、1境界列の要因複雑度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 S自動的語のℓ境界列がS自動的である条件は何か？
• RQ2 ステルミアン語のℓ境界列は、その特徴的ステルミアン語からのスライディングブロック符号によって生成可能か？
• RQ3 ステルミアン語のℓ境界列は、別の特徴的ステルミアン語への自己写像の像か？
• RQ4 ステルミアン語の1境界列の要因複雑度は何か？また、語に現れる(01)rの最大の累乗rに依存するか？
• RQ5 非加法的数進法系においてS自動性が保存されない例、または元の語がS自動的でも境界列がS自動的でない例はあるか？

主な発見

• 加法的抽象的数進法系において、無限語がS自動的であれば、そのℓ境界列もS自動的であり、したがってモーフィックである。
• ステルミアン語のℓ境界列は、同じ勾配を持つその特徴的ステルミアン語からのスライディングブロック符号によって得られる。
• ステルミアン語のℓ境界列は、別の特徴的ステルミアン語への自己写像の像である。
• ステルミアン語sの1境界列の要因複雑度は、n ↦ n+1（n < 2rのとき）、n+2（それ以外のとき）で与えられ、ここでrはsに現れる(01)rの最大の整数である。
• すべてのℓ ≥ 1に対して、境界列は非周期的である。これは、スライディングブロック符号における異なる逆像の存在によって示される。
• フィボナッチ語の∂f,2境界列には文字aが唯一1回現れ、他のすべての文字は無限回現れる。