[論文レビュー] On Extension of Ginzburg-Jiang-Soudry Correspondence to Certain Automorphic Forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$

Baiying Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、自動形式降下写像の合成を用いて、Ginzburg-Jiang-Soudry対応を $π_{4n}(π)$ から $π_{4mn\pm 2n}(π)$ に拡張し、グローバル・アーチャー・パラメータとフーリエ係数の間の関係に関する予想を確認する。特定の残余表現が非可約な離散系列に降下することを証明し、より高ランクのシミレクティック群に対して新たな対応を確立する。

ABSTRACT

Let $F$ be a number field, and $\BA=\BA_F$. In this paper, first, we provide a family of global Arthur parameters confirming all parts of a general conjecture on the relation between the structure of Fourier coefficients and the structure of global Arthur parameters, given by Jiang in 2012. Then we extend a correspondence between certain automorphic forms on $Sp_{4n}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{2n}(\BA)$, given by Ginzburg, Jiang and Soudry in 2012, to certain automorphic forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$, using the same idea of considering compositions of automorphic descent maps.

研究の動機と目的

• グローバル・アーチャー・パラメータと自動形式表現の最大フーリエ係数の構造との関係を示す、Jiang (2012) の予想を確認する。
• 特定の残余表現が $π_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ 上で、自動形式降下を介して離散スペクトル内の非可約平方可積分表現に降下することを確立する。
• 降下写像の合成が、$π_{4mn}(\mathbb{A})$ と $π_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$ 上の自動形式の間で明示的な対応を生じることを示す。

提案手法

• 残余イーゼンスタイン級数 $π_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ から、高ランクシミレクティック群上の表現を、自動形式降下写像の合成を用いて構成する。
• 残余表現 $π_{\Delta(\tau,m)}$ に降下写像 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}$ を適用し、離散スペクトル内の表現を得る。
• 残余表現 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}$ に降下写像 $\mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^{-1}}$ を適用し、元の表現 $\pi$ を回復する。
• 残余表現 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$ および $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$ の非可約性に依存し、降下合成における非ゼロ性と等式を保証する。
• 恒等式 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$ を用いて、対応の正当性を検証する。
• パラボリック部分群上のデータから誘導されるイーゼンスタイン級数を分析し、極を検出するとともに、残余表現を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ginzburg-Jiang-Soudry 対応は、$π_{4n}(\mathbb{A})$ から $π_{4mn}(\mathbb{A})$ および $π_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$ に拡張可能か？
• RQ2 グローバル・アーチャー・パラメータの構造は、離散スペクトル内の自動形式表現の最大フーリエ係数と関連づけられるか？
• RQ3 中間の $π_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ を通じた、$π_{4mn+4n}(\mathbb{A})$ から $π_{4mn}(\mathbb{A})$ への自動形式降下写像の合成は、非ゼロかつ非可約か？
• RQ4 $π_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ 上の残余表現から、降下プロセスにより元の表現 $\pi$ を回復できるか？

主な発見

• 合成 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1} \circ \mathcal{D}^{4mn+4n}_{2n,\psi^{-1}}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m+1)})$ は、非ゼロで非可約かつ平方可積分な離散スペクトル内の表現を生成する。
• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}}$ を $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$ に適用すると、非可約で平方可積分であり、離散スペクトル内にある表現 $\pi$ が得られる。
• 恒等式 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$ により、$π_{4mn}(\mathbb{A})$ と $π_{4mn+2n}(\mathbb{A})$ 上の表現の逆対応が確認される。
• 残余表現 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$ は、$\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$ が非可約であるという仮定の下で非可約であることが示され、降下により $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$ を回復可能となる。
• 降下プロセスにより、$\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)})$ が非可約かつ平方可積分であることが確認され、高ランク群に対する対応の正当性が裏付けられる。