[論文レビュー] On extensions of d.c. functions and convex functions

Libor Veselý, Luděk Zaj́ıček|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ノルム線形空間の凸部分集合または閉部分空間から、全体空間へのd.c.関数および連続凸関数の拡張が可能となる条件を確立する。先行研究におけるd.c.写像に関する合成結果を活用することで、$1 < p \leq 2$ における $L_p(\mu)$ 空間の有界な開集合上に定義された連続凸関数が、有界部分集合上でリプシッツ連続であればd.c.拡張をもつことを証明する。また、閉部分空間からの連続凸関数の拡張に関して、既存の特徴づけとは異なる新しい必要十分条件を提示し、可分商空間における既知の結果のより単純な証明を提供する。

ABSTRACT

We show how our recent results on compositions of d.c. functions (and mappings) imply positive results on extensions of d.c. functions (and mappings). Examples answering two natural relevant questions are presented. Two further theorems, concerning extendability of continuous convex functions from a closed subspace of a normed linear space, complement recent results of J.Borwein, V.Montesinos and J.Vanderwerff.

研究の動機と目的

• ノルム線形空間の凸部分集合から全体空間へのd.c.関数および写像の拡張可能性を扱う。
• ノルム線形空間の閉部分空間上に定義された連続凸関数が、全体空間へと連続凸関数として拡張可能かどうかを調査する。
• 既存の特徴づけとは異なる、閉部分空間からの連続凸関数の拡張可能性に関する新しい必要十分条件を提供する。
• 商空間 $X/Y$ が可分である場合に、Borwein らの結果の拡張が可能かどうかを、より直接的で初等的な方法で再証明する。

提案手法

• d.c.関数および写像に関する先行研究の合成定理を活用し、$1 < p \leq 2$ における $L_p(\mu)$ 空間上でのd.c.関数の拡張結果を導出する。
• 凸集合 $D_n \nearrow\!\!\!\nearrow C$ を用いた断片的構成法を適用し、局所的リプシッツ連続性を保証し、拡張を可能にする。
• 閉部分空間 $Y$ からの連続凸関数の拡張可能性に関する新しい基準を導入し、特定の凸包条件を満たす凸集合の列の存在に基づく。
• ローゼンタールの拡張定理と、凸包および球を用いた幾何的議論を用いて、新しい基準の正当性を検証する。
• 商空間 $X/Y$ 内のコンパクトな凸集合 $Z_n = \mathrm{conv}\{z_1,\dots,z_n\}$ を用いて、$X$ 内に稠密な凸集合の列を構成し、$X$ の断片的分解 $D_j$ の構築を可能にする。
• 補題1.5を適用し、部分空間制限のもとで凸性および交差性を保つことで、構築された集合 $D_j$ が $Y \cap D_j \subset C_j$ を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム線形空間 $X$ の凸部分集合 $C$ 上に定義されたd.c.関数が、全体空間 $X$ 上のd.c.関数へと拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 ノルム線形空間 $X$ の閉部分空間 $Y$ 上に定義された連続凸関数が、全体空間 $X$ 上の連続凸関数へと拡張可能か？
• RQ3 有界部分集合上で局所的リプシッツ連続性が保証されることが、連続凸関数の拡張の存在に十分であるか、あるいはより強い正則性が必要か？
• RQ4 任意の連続凸関数が $Y$ から $X$ へと連続凸関数として拡張可能となるような部分空間 $Y$ の、新たな内因的特徴づけは何か？
• RQ5 商空間 $X/Y$ が可分である場合の既知の拡張結果を、より単純で直接的な方法で再証明できるか？

主な発見

• 有界な開集合上に定義された連続凸関数が、$\mathrm{int}\,C$ が空でない凸集合 $C$ 上で有界部分集合上でリプシッツ連続であれば、$L_p(\mu)$ 空間（$1 < p \leq 2$）上では、全体空間へのd.c.拡張が存在する。
• このような関数が連続凸拡張を持たない例が存在し、$\mathbb{R}^2$ 内でも同様の反例が示されることから、リプシッツ条件の必要性が示される。
• 有界部分集合上でリプシッツ連続性を仮定する必要があるが、$C$ 上での局所的リプシッツ連続性では不十分であり、反例によりその拡張可能性が保証されないことが示される。
• 閉部分空間 $Y$ からの連続凸関数の拡張可能性に関する、新しい必要十分条件が確立され、特定の凸包包含条件を満たす凸集合の列の存在に基づく。
• 商空間 $X/Y$ が可分であれば、$Y$ 上の任意の連続凸関数が $X$ 上に連続凸関数として拡張可能であるという結果に対して、初等的で直接的な証明が与えられる。この証明は、$X$ が完備でない場合にも適用可能である。
• 高度な道具（例：ローゼンタールの定理）を避ける手法を採用し、$X/Y$ 内の点列の凸包とその $X$ への上への持ち上げを用いた、構成的で断片的な $X$ の分解を用いる。