[論文レビュー] On Extensions of Maximal Repeats in Compressed Strings

Julian Pape-Lange|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Algorithms and Data Compression参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、最大繰り返しとその右拡張の組み合わせ的解析を用いて、文字列 $ S $ のランレングス・バーローズ・ホイーラー変換（RLBWT）における $ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $ 個のランの新たな上界を提示する。最大ペアとRLBWTの間の新しい関係を確立し、最近ケンパとコツィウマカによって解決されたバーローズ・ホイーラー予想の別証明を提供する。

ABSTRACT

This paper provides upper bounds for several subsets of maximal repeats and maximal pairs in compressed strings and also presents a formerly unknown relationship between maximal pairs and the run-length Burrows-Wheeler transform. This relationship is used to obtain a different proof for the Burrows-Wheeler conjecture which has recently been proven by Kempa and Kociumaka in "Resolution of the Burrows-Wheeler Transform Conjecture". More formally, this paper proves that the run-length Burrows-Wheeler transform of a string S with z_S LZ77-factors has at most 73(log₂ |S|)(z_S+2)² runs, and if S does not contain q-th powers, the number of arcs in the compacted directed acyclic word graph of S is bounded from above by 18q(1+log_q |S|)(z_S+2)².

研究の動機と目的

• 圧縮された文字列における最大繰り返しとその右拡張の組み合わせ的構造を分析すること。
• LZ77要因に基づいて、ランレングス・バーローズ・ホイーラー変換（RLBWT）におけるランの数のより緊密な上界を確立すること。
• 最大ペアとRLBWTの間の新しい関係を明らかにし、バーローズ・ホイーラー予想の別証明を可能にすること。
• 非常に周期的な構造がRLBWTおよびCDAWGにおける圧縮性にどのように影響するかを理解を深めること。

提案手法

• 文字列の繰り返しの度合いを測るため、最大繰り返しとその右拡張を分析する。
• 過剰な数え上げを減らすために、非高周期的または短い拡張を伴う最大繰り返しの概念を導入する。
• 巡回回転の辞書式順序を用いて、バーローズ・ホイーラー変換の性質を活用し、RLBWTランの上限を導出する。
• 周期性の議論と巡回置換の比較を適用し、新しいランに寄与するのは限定的な拡張のみであることを示す。
• LZ77要因と文字列の累乗（$ q $ 乗）の構造を活用し、異なる最大ペアの数の上限を導出する。
• 繰り返し拡張に関する組み合わせ的議論を用いて、RLBWTランとCDAWGの弧の両方の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LZ77要因が $ z $ 個で、$ q $ 乗を含まない文字列のランレングス・バーローズ・ホイーラー変換には、最大で何個のランが存在するか？
• RQ2 最大ペアとRLBWTにおけるランの数の関係は何か？
• RQ3 最大繰り返しの右拡張の数は、$ z $ と $ \log |S| $ の観点から上界を持つか？
• RQ4 非常に周期的な構造は、RLBWTランの数およびCDAWGの弧の数にどのように影響するか？
• RQ5 最大繰り返し拡張を用いて、バーローズ・ホイーラー予想の別証明を導出できるか？

主な発見

• 文字列 $ S $ が $ z $ 個のLZ77要因を持ち、$ q $ 乗を含まない場合、そのランレングス・バーローズ・ホイーラー変換におけるランの数は、最大 $ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $ 個である。
• 文字列 $ S $ のコンpactな有向無閉路語彙グラフ（CDAWG）における弧の数は、$ 18q(1 + \log_q |S|)(z + 2)^2 $ で抑えられる。
• RLBWTランに顕著に寄与するのは、高周期的でない、または周期長より多く拡張できない最大繰り返しの部分集合に限られる。
• 本稿は、バーローズ・ホイーラー予想の別証明を提供し、$ r \in O((\log |S|)z^2) $ であることを示しており、ケンパとコツィウマカの結果と整合的である。
• 各最大繰り返しについて、それが $ p^q $ の形である場合、その2つの出現の少なくとも1つは、$ |p| $ 文字より多く拡張できないことが示され、ランの数え上げにおける過剰な数え上げが制限される。
• 結果から、最大繰り返しのベース還元に基づく圧縮データ構造が、$ O((\log |S|)z^2) $ の弧を達成でき、CDAWGの効率に近づきつつも、より優れた圧縮性を実現できる可能性が示唆される。