[論文レビュー] On extremal graphs with at most two internally disjoint Steiner trees connecting any three vertices

Hengzhe Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、任意の3頂点に対して高々2本の内部素性をもつスティーナー木が存在する極値グラフを調査し、$k=3$ におけるこのようなグラフの最大辺数を $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n-3$（$n \geq 3, n \neq 4$）および $n=4$ の場合は $2n-2$ として特定する。また、この上限に達する極値グラフを同定し、より高い連結度レベルにおける一般化された下界を確立する。

ABSTRACT

The problem of determining the smallest number of edges, $h(n;\barκ\geq r)$, which guarantees that any graph with $n$ vertices and $h(n;\barκ\geq r)$ edges will contain a pair of vertices joined by $r$ internally disjoint paths was posed by Erdös and Gallai. Bollobás considered the problem of determining the largest number of edges $f(n;\barκ\leq \ell)$ for graphs with $n$ vertices and local connectivity at most $\ell$. One can see that $f(n;\barκ\leq \ell)= h(n;\barκ\geq \ell+1)-1$. These two problems had received a wide attention of many researchers in the last few decades. In the above problems, only pairs of vertices connected by internally disjoint paths are considered. In this paper, we study the number of internally disjoint Steiner trees connecting sets of vertices with cardinality at least 3.

研究の動機と目的

• $k=3$ の場合に、$\overline{\kappa}_k \leq \ell$ となるように一般化された局所連結度が最大 $\ell$ である $n$ 頂点グラフにおける最大辺数 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ を特定すること。
• $\ell=2$ の場合に、この最大辺数に達する極値グラフを同定すること。
• 任意の $\ell$ について、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ に対する一般化された下界を確立すること。
• $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ と $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$（ある3頂点集合に対して $r$ 本の内部素性をもつスティーナー木を保証する最小辺数）の双対性を調査すること。

提案手法

• 任意の $k$ 頂点部分集合 $S \subseteq V(G)$ に対して、$S$-木として内部素性をもつものの最大数として、一般化された局所連結度 $\overline{\kappa}_k(G)$ を定義する。
• $\overline{\kappa}_k(G) \leq \ell$ を満たす $n$ 頂点グラフにおける最大辺数を $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ と定義し、$\overline{\kappa}_k(G) \geq r$ を満たすような $k$ 集合 $S$ に対して $r$ 本の内部素性をもつ $S$-木を保証する最小辺数を $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ と定義する。さらに、$h(n;\overline{\kappa}_k \geq \ell+1) = f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell) + 1$ が成り立つことを示す。
• $n$ を変数とする帰納法を用いて、$\overline{\kappa}_3(G) \leq 2$ かつ $e(G) = 2n-3$（$n=4$ の場合は $2n-2$）を満たすグラフは、特定の極値グラフクラス $\mathcal{G}_n^*$ に属することを証明する。
• $G = G' \vee K_2$（$G'$ は正則またはほぼ正則なグラフ）という結合演算を用いて極値グラフを構成することで、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ の下界を導出する。
• 最小次数頂点の近傍構造に基づく場合分けを用いて、頂点削除後の誘導部分グラフにおける次数と辺数を分析する。
• 辺追加や頂点削除といったグラフ操作を適用し、$\overline{\kappa}_3$ パラメータを保存または解析する。特に、$e(G') = 2(n-1)-3$ かつ $\overline{\kappa}_3(G) \leq 2$ を満たす $G$ の部分グラフに辺を追加すると、結果として $\mathcal{G}_n^*$ に属するグラフが得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の3頂点に対してそれらを結ぶ内部素性をもつスティーナー木が高々2本であるような $n$ 頂点グラフにおける最大辺数は何か？
• RQ2 $n \geq 3$ かつ $n \neq 4$ の場合、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2)$ の正確な値は何か？ また、どのグラフがこの上限に達するか？
• RQ3 一般の $\ell$ に対して、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell)$ の与えられた下界に達するグラフをどのように構成できるか？
• RQ4 $f(n;\overline{\kappa}_k \leq \ell)$ と $h(n;\overline{\kappa}_k \geq r)$ の関係は何か？ また、この双対性は極値グラフ解析にどのように役立つか？

主な発見

• $n \geq 3$ かつ $n \neq 4$ の場合、任意の3頂点を結ぶ内部素性をもつスティーナー木が高々2本であるようなグラフの最大辺数は $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$ である。
• $n = 4$ の場合、最大辺数は $f(4;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2 \cdot 4 - 2 = 6$ であり、これは $K_4$ によって達成される。
• $n \neq 4$ の場合、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$ を達成するすべての極値グラフは、クラス $\mathcal{G}_n^*$ に属する。このクラスは、$K_4$ を木のような構造に接続するか、特定の結合演算を用いて構成されるグラフから成る。
• 一般の $\ell$ に対して、下界が確立されている：$n$ と $\ell$ がともに奇数のとき $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell) \geq \frac{\ell+2}{2}(n-2) + \frac{1}{2}$、それ以外の場合は $f(n;\overline{\kappa}_3 \leq \ell) \geq \frac{\ell+2}{2}(n-2) + 1$。
• $\ell = 2$ の場合の上限はタイトであり、$f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) = 2n - 3$ は下界構成（$K_2 \vee (n-2)K_1$）と一致する。このグラフは $\mathcal{G}_n^*$ に属する。
• 双対性 $h(n;\overline{\kappa}_3 \geq 3) = f(n;\overline{\kappa}_3 \leq 2) + 1$ が成り立ち、$n \neq 4$ の場合は $h(n;\overline{\kappa}_3 \geq 3) = 2n - 2$、$n = 4$ の場合は $2n - 1$ となる。これは、ある3頂点集合に対して3本の内部素性をもつスティーナー木を保証する最小辺数を表す。