[論文レビュー] On Extremal Index of max-stable stationary processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、極値的定常max-stable過程の極値指数とピカーンズ型定数の直接的な関係を確立し、ガウス過程またはレヴィ過程である場合のこれらの定数に対する新しい公式と下界を導出する。極値指数は、過程の指数関数の正規化された上界の期待値の極限によって特徴づけられることを証明し、過程の分散構造に基づいたピカーンズ定数 $\mathcal{H}_W^\delta$ の明示的な下界を提示する。

ABSTRACT

In this contribution we discuss the relation between Pickands-type constants defined for certain Brown-Resnick stationary process $W(t),t\in R$ as $$\mathcal{H}_W^δ= \lim_{T o\infty} T^{-1} E{ \left(\sup_{t\in δZ \cap [0,T]} e^{W(t)} ight) },\ δ\ge 0$$ (set $0 Z=R$ if $δ=0$) and the extremal index of the associated max-stable stationary process $ξ_W$. We derive several new formulas and obtain lower bounds for $\mathcal{H}_W^δ$ if $W$ is a Gaussian or a Lévy process. As a by-product we show an interesting relation between Pickands constants and lower tail probabilities for fractional Brownian motions.

研究の動機と目的

• ピカーンズ型定数 $\mathcal{H}_W^\delta$ とmax-stable定常過程 $\xi_W$ の極値指数との関係を明確化すること。
• 過程 $W$ がガウス過程またはレヴィ過程である場合の $\mathcal{H}_W^\delta$ に対する新しい解析的公式および非自明な下界を導出すること。
• 分数 Browm運動の下尾確率とピカーンズ定数の関係を副次的な成果として確立すること。
• 古典的ブラウン＝レズニックの場合を越えて、より広いクラスの定常過程に対して $\mathcal{H}_W^\delta$ の定義を一般化すること。

提案手法

• 強度 $x^{-2}dx$ のポアソン点過程を用いたmax-stable過程のM3表現を用い、$\mathcal{H}_W^\delta$ を $\xi_W^\delta$ の極値指数と関連付ける。
• 過程 $\xi_W$ の定常性と単位フレシェ分布の性質を用いて、極限式 $\mathcal{H}_W^\delta = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in\delta\mathbb{Z}\cap[0,T]} e^{W(t)}\right]$ を導出する。
• モーメント母関数の技法とインクリメントの独立性を用いて、レヴィ過程に対して $\mathbb{E}\left[e^{W(t)}\right]$ および $\mathbb{E}\left[e^{(W(k\delta) - W(0))/2}\right]$ を計算する。
• 単調収束定理とスケーリングの考察を用い、列 $\delta_n = \eta l^{-n}$ を通じて極限 $\lim_{\delta\downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$ を分析する。
• 積分推定と指数モーメント計算を用いて、$\mathbb{P}(W(\delta k) + W(\delta l) > 2s)$ を含む下界を導出する。
• インクリメントの定常性とジェンセンの不等式を用い、$\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$ を示し、正の下界の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 max-stable定常過程の極値指数は、ピカーンズ型定数 $\mathcal{H}_W^\delta$ とどのように関係しているか？
• RQ2 過程 $W$ がガウス過程またはレヴィ過程である場合の $\mathcal{H}_W^\delta$ の明示的な下界は何か？
• RQ3 ピカーンズ定数は、分数 Browm運動の下尾確率と関係づけられるか？
• RQ4 $\delta \downarrow 0$ のとき $\mathcal{H}_W^\delta$ の挙動はどのように変化し、その極限は存在するか？
• RQ5 M3表現を用いて、一般の定常過程に対して $\mathcal{H}_W^\delta$ の新しい公式を導出できるか？

主な発見

• max-stable過程 $\xi_W^\delta(t) = \xi_W(\delta t)$ の極値指数は $\mathcal{H}_W^\delta$ に等しく、両者の間の直接的な関係を確立する。
• レヴィ過程 $W$ に対して、ピカーンズ定数は $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \left(1 - \sum_{k=1}^\infty e^{-\delta k \lambda}\right)_+$ を満たし、$\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$ である。
• より強い下界が得られる：$\delta > 0$ に対して $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \frac{1 - 2e^{-\delta\lambda}}{1 - e^{-\delta\lambda}}$ が成り立つ。
• $\delta = 0$ の場合、$\mathcal{H}_W^0 \geq \frac{\lambda}{4} > 0$ を証明し、定数が正に保たれることを示す。
• 極限 $\lim_{\delta \downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$ は存在し、$\overline{H}_W$ に等しく、$\frac{\lambda}{4}$ で下から抑えられている。
• 予期しない関係が明らかになった：ピカーンズ定数は、Hurst指数 $H \in (0,1)$ を持つ分数 Browm運動 $B_H$ の下尾確率 $\mathbb{P}(B_H(t) < x)$ と関連している。