[論文レビュー] On extremal trees with respect to the $F$-index

Hosam Abdo, Darko Dimitrov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、頂点の次数の立方和として定義される、頂点次数の立方和に基づくトポロジカル記述子である、忘れられた指標（F指標）に関して、極値木を調査する。最大次数が有界である木の中でF指標を最大化する木を同定し、そのような極値木が、高次数の中心頂点が多数の葉に接続されており、場合によっては少数の中間次数の頂点を含む構造であることを示し、総頂点数と最大次数に基づいて、各次数の頂点数に対する明確な式を提示する。

ABSTRACT

In a study on the structure--dependency of the total $π$-electron energy from 1972, Trinajstić and one of the present authors have shown that it depends on the sums $\sum_{v\in V}d(v)^2$ and $\sum_{v\in V}d(v)^3$, where $d(v)$ is the degree of a vertex $v$ of the underling molecular graph $G$. The first sum was later named {\it first Zagreb index} and over the years became one of the most investigated graph--based molecular structure descriptors. On the other hand, the second sum, except in very few works on the general first Zagreb index and the zeroth--order general Randić index, has been almost completely neglected. Recently, this second sum was named {\em forgotten index}, or shortly the $F$-{\em index}, and shown to have an exceptional applicative potential. In this paper we examine the trees extremal with respect to the $F$-index.

研究の動機と目的

• 最大次数がΔ以下であるn次のすべての木の中で、F指標が最大となる木を特定すること。
• 頂点次数に制約を課すことで、F指標に関する先行研究を拡張すること。
• 次数制約下でのF指標を最大にする木の次数列および構造的配置を明確に同定すること。
• SageとMATLABを用いた計算ツールを用いて、小規模なnに対して理論的結果を検証すること。
• 最大次数の頂点が多数の葉に接続された星型構造が、次数制約下でF指標を最大にすることを示すこと。

提案手法

• 頂点vの次数を$d(v)$とするとき、$ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d(v)^3 $としてF指標を形式化する。
• グラフ理論的変換を用いる：辺$ uv $を削除し、$ xy $を追加してF指標の値を比較する。
• 整数線形計画法を用いて、次数制約下での極値次数列をモデル化・解法する。
• SageとMATLABを用いた計算ツールを用いて、小規模なnに対して極値木を列挙・検証する。
• 次数分布と辺の多重度に基づいて、F指標が最大値をとる構造的条件を導出する。
• $ [\Delta^{k}, \dots, 1^{m}] $の形をした次数列を導入・分析し、モジュロ算術に基づく正確な個数を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n個の頂点と最大次数がΔ以下の木の中で、F指標が最大となるのはどれか？
• RQ2 次数制約下でのF指標の振る舞いはどのように変化し、どのような構造的特徴がそれを最大化するか？
• RQ3 有界次数木における極値F指標値を達成する正確な次数列と頂点数は何か？
• RQ4 F指標の結果は、一般化された第一Zagreb指標および零次元のRandić指標の結果とどのように比較できるか？
• RQ5 計算手法を用いて、極値F指標木を体系的に生成・検証することは可能か？

主な発見

• n個の頂点と最大次数Δをもつ木において、F指標は$ \left\lfloor \frac{n-2}{\Delta-1} \right\rfloor $個のΔ次頂点と、残りを葉として持つ次数列であるとき、最大値をとる。$ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $の場合、中間次数の頂点が1つ追加される。
• $ (n-2) \mod (\Delta-1) = 0 $の場合、極値木は正確に$ \frac{n-2}{\Delta-1} $個のΔ次頂点と$ \frac{n(\Delta-2)+2}{\Delta-1} $個の葉を持つ。
• $ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $の場合、極値木には次数x（$ 2 \leq x \leq \Delta-1 $）の頂点が1つ、次数Δの頂点が$ \frac{n-1-x}{\Delta-1} $個、葉が$ \frac{(n-1)(\Delta-2)+x}{\Delta-1} $個含まれる。
• Δ = 4およびΔ = 5のn ≤ 20の極値木のF指標値をSageとMATLABの両方で計算・検証し、一貫性のある結果が得られた。
• 最大F指標は、中心の高次数頂点が可能な限り多くの葉に接続された星型構造で達成され、頂点数と次数制約を満たすために必要な場合に限り、中間次数の頂点が追加される。
• F指標はnとΔとともに著しく増加し、n=20、Δ=5のとき542に達するなど、導出された公式の妥当性が確認された。