[論文レビュー] On Extreme Value Processes and the Functional D-Norm

Stefan Aulbach, Michael Falk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、[0,1] 上の連続な最大スケーリング安定過程の分布関数 G の D-ノルム表現を用いて、確率過程のための関数的アトラクション領域枠組みを導入する。これは古典的極値理論を一般化するものであり、関数的一般化されたパレート分布（GPD）が上尾部で W = 1 + log(G) を満たすことを確立し、多変量極値理論を関数的設定へと拡張するための多項式的レートを伴う δ-近傍を用いて収束を特徴づける。

ABSTRACT

We introduce a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. The distribution function G of a continuous max-stable process on [0,1] is introduced and it is shown that G can be represented via a norm on functional space, called D-norm. This is in complete accordance with the multivariate case and leads to the definition of functional generalized Pareto distributions (GPD) W. These satisfy W=1+log(G) in their upper tails, again in complete accordance with the uni- or multivariate case. Applying this framework to copula processes we derive characterizations of the domain of attraction condition for copula processes in terms of tail equivalence with a functional GPD. \delta-neighborhoods of a functional GPD are introduced and it is shown that these are characterized by a polynomial rate of convergence of functional extremes, which is well-known in the multivariate case.

研究の動機と目的

• 関数的アトラクション領域のアプローチを導入することで、多変量から関数的設定への極値理論の拡張を図ること。
• 関数的ノルム、すなわち D-ノルムを用いて、[0,1] 上の連続な最大安定過程の分布関数 G を定義し、特徴づけること。
• 上尾部で W = 1 + log(G) が成り立つような関数的一般化されたパレート分布（GPD）の一般化を確立し、多変量の場合と一致させること。
• コピュラ過程が関数的GPDのアトラクション領域に属するための条件を、尾部同等性を用いて導出すること。
• 関数的GPDの δ-近傍を特徴づけ、関数的極値の収束レートと結びつけること。

提案手法

• 本稿は、[0,1] 上の連続な最大安定過程の分布関数 G を表すために、関数的空間上の D-ノルムを定義する。
• 上尾部で W = 1 + log(G) を満たす関数的一般化パレート分布（GPD）W を導入し、単変量および多変量極値理論と整合性を保つ。
• 関数的極値の収束行動を記述するために、関数的GPDの周囲の δ-近傍をフレームワークに組み込む。
• 収束が多項式的レートで発生することを確立し、多変量の場合と類似した性質を示す。
• 尾部同等性を用いて、コピュラ過程の関数的GPDのアトラクション領域への属する条件を特徴づける。
• 関数的空間におけるノルムに基づく表現を用いることで、従来の弱収束に基づくアトラクション領域の一般化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的ノルムを用いて、弱収束を越えて確率過程の極値理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 一般化パレート分布（GPD）の関数的アナロジーは何か。また、W = 1 + log(G) を通じて最大安定過程とどのように関連するか。
• RQ3 関数的GPDの δ-近傍を用いて、関数的極値の収束レートをどのように特徴づけられるか。
• RQ4 コピュラ過程が関数的GPDのアトラクション領域に属するための条件は何か。
• RQ5 G の D-ノルム表現は、関数的および多変量極値理論枠組みをどのように統合するか。

主な発見

• 連続な最大安定過程の分布関数 G は、関数的空間上の D-ノルムを用いて表現可能であり、極値理論のノルムに基づく一般化を提供する。
• 関数的一般化パレート分布（GPD）は上尾部で W = 1 + log(G) を満たし、古典的単変量および多変量極値枠組みと整合性を保つ。
• 関数的GPDの δ-近傍は、関数的極値の収束が多項式的レートで発生することを特徴づけ、既知の多変量結果を関数的設定へと拡張する。
• コピュラ過程が関数的GPDのアトラクション領域に属するのは、それがそれと尾部同等であるときかつそのときに限り、明快な特徴づけが得られる。
• D-ノルムに基づく関数的アトラクション領域のアプローチは、従来の弱収束に基づくアプローチよりも包括的であり、確率過程の極値においてより広範な適用可能性を有する。
• ノルムに基づく表現と尾部同等性を用いることで、多変量極値理論の理論的構造が関数的過程へと成功裏に拡張された。