[論文レビュー] On f-harmonic morphisms between Riemannian manifolds

Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体間の写像としての$f$-調和モルフィズム——局所的調和関数を局所的$f$-調和関数に引き戻すもの——を導入し、特徴づける。このような写像が、正確に水平的弱共形$f$-調和写像であることを証明し、調和モルフィズムのFuglede-Ishihara定理を一般化する。また、例、非存在結果、共形幾何学およびスピン系への関連性も提示する。

ABSTRACT

f-Harmonic maps were first introduced and studied by Lichnerowicz in \cite{Li} (see also Section 10.20 in Eells-Lemaire's report \cite{EL}). In this paper, we study a subclass of f-harmonic maps called f-harmonic morphisms which pull back local harmonic functions to local f-harmonic functions. We prove that a map between Riemannian manifolds is an f-harmonic morphism if and only if it is a horizontally weakly conformal f-harmonic map. This generalizes the well-known Fuglede-Ishihara characterization for harmonic morphisms. Some properties and many examples as well as some non-existence of f-harmonic morphisms are given. We also study the f-harmonicity of conformal immersions.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学における調和モルフィズムの一般化として、$f$-調和モルフィズムを定義し、研究すること。
• 水平的弱共形性と$f$-調和性を用いた$f$-調和モルフィズムの特徴づけを確立すること。
• 特にコンパクトかつ対称的空間上で、このような写像の存在および非存在を検討すること。
• 非一様ヘイゼンベルク反強磁性体などの物理的モデルと$f$-調和モルフィズムを結びつけること。
• $f$-調和モルフィズムと$h$-調和モルフィズムなどの類似概念との違いを明確にすること。

提案手法

• $f$-エネルギー汎関数$E_f(\phi) = \frac{1}{2}\int_\Omega f|d\phi|^2 dv_g$の臨界点として$f$-調和写像を定義する。
• $f$-調和モルフィズムを、$f$-文脈における調和性を保つ写像として導入する：局所的調和関数を局所的$f$-調和関数に引き戻す。
• 写像が$f$-調和モルフィズムであることと、水平的弱共形かつ$f$-調和であることとは同値であることを証明し、Fuglede-Ishihara定理を一般化する。
• $f$-調和写像の定義方程式として、張力場方程式$\tau_f(\phi) = f\tau(\phi) + d\phi(\text{grad}\,f) = 0$を用いる。
• 計量の共形変更を分析する：$\phi:(M,g)\to(N,h)$が$f$-調和写像であることと、$\phi:(M,f^{2/(m-2)}g)\to(N,h)$が調和写像であることとは同値であることを示す。
• 曲率および部分写像論を用いて非存在結果を証明し、特に$S^{2n+1}$のようなコンパクトで正の曲率を持つ多様体上で有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体間の滑らかな写像の中で、$f$-調和モルフィズムはどのように特徴づけられるか？
• RQ2 $f$-調和モルフィズムは調和モルフィズムや$p$-調和写像とどのように関係しているか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で$f$-調和モルフィズムが存在するか、あるいは存在しないか？
• RQ4 非定数$f$をもつ$S^{2n+1}$のようなコンパクトで正の曲率を持つ多様体上に、$f$-調和モルフィズムが存在するか？
• RQ5 $f$-調和モルフィズムの物理的および幾何的意義は何か、特にスピン系や共形幾何学とどのように関連しているか？

主な発見

• 水平的弱共形$f$-調和写像として、$f$-調和モルフィズムが特徴づけられ、古典的Fuglede-Ishihara定理が拡張される。
• 臨界点を持たない$F$-調和写像は、$f = F'(\frac{|d\phi|^2}{2})$を満たす$f$-調和写像として得られ、$F$-調和写像と$f$-調和写像を結びつける。
• 多項式写像$\phi:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$が$f$-調和モルフィズムであることと、調和モルフィズムであり、$f$が垂直方向の勾配を持つこととは同値である。
• 最小ファイバーをもつコンパクトで非負の曲率を持つ多様体上では、リーマン部分写像が$f$-調和モルフィズムであるためには$f$が定数でなければならない。
• $S^{2n+1}$上に非定数の正の関数$f$が存在せず、ホフプ・ファイブレーションが$f$-調和モルフィズムでない。
• $S^3$に標準計量を備えた場合、非定数$f$および非自明な水平曲率をもつ部分写像的$f$-調和モルフィズムは存在しない。これは共形変形の議論によって示される。