[論文レビュー] On Factorizable S-matrices, Generalized TTbar, and the Hagedorn Transition

Giancarlo Camilo, Thiago Fleury+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、一般化された TTbar 演算子で変形された可解な2次元量子場理論における熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）を、CDD因子を含む分解型S行列に関して検討する。疑似弧長続行法を用いて、有限サイズの基底状態エネルギー E(R) に対して2つの解の分岐を同定し、R∗ で平方根的分岐点を示す。これは、標準的な局所的QFTとは整合しないが、弦理論に特徴的な高エネルギー状態の指数的増加を示すハゼルドン的振る舞いを示唆する。2粒子散乱位相が高エネルギーで急激に増加しない場合でも、ハゼルドン転移は持続する。これは、このような振る舞いが単に位相の増加に起因するのではなく、S行列の構造的性質に起因することを示している。

ABSTRACT

We study solutions of the Thermodynamic Bethe Ansatz equations for relativistic theories defined by the factorizable $S$-matrix of an integrable QFT deformed by CDD factors. Such $S$-matrices appear under generalized TTbar deformations of integrable QFT by special irrelevant operators. The TBA equations, of course, determine the ground state energy $E(R)$ of the finite-size system, with the spatial coordinate compactified on a circle of circumference $R$. We limit attention to theories involving just one kind of stable particles, and consider deformations of the trivial (free fermion or boson) $S$-matrix by CDD factors with two elementary poles and regular high energy asymptotics -- the "2CDD model". We find that for all values of the parameters (positions of the CDD poles) the TBA equations exhibit two real solutions at $R$ greater than a certain parameter-dependent value $R_*$, which we refer to as the primary and secondary branches. The primary branch is identified with the standard iterative solution, while the secondary one is unstable against iterations and needs to be accessed through an alternative numerical method known as pseudo-arc-length continuation. The two branches merge at the "turning point" $R_*$ (a square-root branching point). The singularity signals a Hagedorn behavior of the density of high energy states of the deformed theories, a feature incompatible with the Wilsonian notion of a local QFT originating from a UV fixed point, but typical for string theories. This behavior of $E(R)$ is qualitatively the same as the one for standard TTbar deformations of local QFT.

研究の動機と目的

• 一般化TTbar変形可解QFTのUV構造、特にハゼルドン的振る舞いの出現を理解すること。
• 2極と正則な高エネルギー極限を持つCDD因子を伴う分解型S行列に対する熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）方程式の解析。
• TBA方程式の2つの異なる解の分岐、特に不安定な二次分岐の特定と特徴付け、転送点 R∗ の特定。
• ハゼルドン的振るまいが、散乱位相の高エネルギーでの急激な増加に依存するのか、それともS行列の構造的性質に起因するのかを特定すること。
• 2粒子散乱位相が有限な高エネルギー極限を持つ場合でも、ハゼルドン特異性が持続することを示し、そのような位相増加が必須であるという仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• 2CDDモデル（自由フェルミオン/ボソンS行列のCDD因子による変形、2つの極と正則な高エネルギー漸近挙動を有する）のTBA方程式を解く。
• E(R)、つまり円周がRの有限サイズ系における基底状態エネルギーの主解分岐を、反復法により計算する。
• 標準的反復法では到達できない不安定な二次分岐に到達するため、疑似弧長続行法（PALC）を用いる。
• ヤコビアンのムーア・ペンローズ（準）逆行列を用いた予測子・修正子ルーチンと、ヤコビアンの特異点を扱うニュートン型反復法を採用する。
• 一定の格子間隔 ∆θ を用いた離散化TBA積分方程式を数値的に解き、複素極を有する2CDDカーネル ϕ(θ) を用いる。
• E(R) の大Rにおける漸近的挙動を解析し、データをフィットしてハゼルドン温度と状態密度の指数的増加率を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化TTbar変形QFTにおけるハゼルドン転移は、高エネルギー領域での2粒子散乱位相の急激な増加を必要とするのか？
• RQ2 散乱位相が有限な高エネルギー極限を持つ場合でも、有限サイズ基底状態エネルギーE(R)にハゼルドン特異性が現れるのか？
• RQ3 不安定な二次TBA解分岐がハゼルドン的振るまいの出現に果たす役割は何か？
• RQ4 疑似弧長続行法はどのようにして二次TBA分岐に到達可能にし、転送点 R∗ の意義は何か？
• RQ5 これらのモデルにおけるハゼルドン的振るまいは、散乱位相の具体的な形に依存しない、CDD変形可解QFTの一般的特徴であるのか？

主な発見

• 2CDDモデルのTBA方程式は、R > R∗ に対して2つの実数解分岐（安定な主分岐と不安定な二次分岐）を示し、R∗ で平方根的分岐点に合流する。
• 二次分岐は標準的反復TBA法では到達できないが、予測子・修正子ルーチンとヤコビアンのムーア・ペンローズ逆行列を用いた疑似弧長続行法（PALC）により到達可能である。
• R∗ における特異性は、高エネルギー状態の密度にハゼルドン的振るまいを示し、状態数の指数的増加を示唆する。これは標準的な局所的QFTとは整合せず、弦理論に特徴的な挙動である。
• フェルミオンおよびボソンの2CDDモデルにおいても、散乱位相の高エネルギー極限が有限であっても、ハゼルドン特異性は持続する。これは、このような位相増加がハゼルドン的振るまいの必要条件ではないことを示している。
• 両分岐におけるE(R)の大R漸近的挙動は、ハゼルドン温度 T_H を持つ普遍的形を示し、状態密度の指数的増加率はハゼルドン転移と整合的である。
• 2CDDモデルの狭い共鳴極限は、標準的な TTbar 変形を回復し、既知の結果と整合することを確認し、数値フレームワークの妥当性を裏付けた。