[論文レビュー] On factorizations of maps between curves

Dijana Kreso, Michael E. Zieve|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、モノドロミー群に推移的アーベル（あるいはより一般に推移的デデキンド、または準ハミルトニアン）部分群を含む曲線の被覆に対して、完全分解における非分解的因子の次数、モノドロミー群、自己同型群が置換を除いて一意に定まることを確立している。これはリットの多項式因子分解に関する古典的結果の一般化であり、多項式、準同型写像、ラッティーズ写像、およびその他の算術的幾何的被覆に適用可能である。

ABSTRACT

We examine the different ways of writing a cover of curves $ϕ\colon C o D$ over a field $K$ as a composition $ϕ=ϕ_n\circϕ_{n-1}\circ\dots\circϕ_1$, where each $ϕ_i$ is a cover of curves over $K$ of degree at least $2$ which cannot be written as the composition of two lower-degree covers. We show that if the monodromy group $ extrm{Mon}(ϕ)$ has a transitive abelian subgroup then the sequence $(\degϕ_i)_{1\le i\le n}$ is uniquely determined up to permutation by $ϕ$, so in particular the length $n$ is uniquely determined. We prove analogous conclusions for the sequences $( extrm{Mon}(ϕ_i))_{1\le i\le n}$ and $( extrm{Aut}(ϕ_i))_{1\le i\le n}$. Such a transitive abelian subgroup exists in particular when $ϕ$ is tamely and totally ramified over some point in $D(\overline{K})$, and also when $ϕ$ is a morphism of one-dimensional algebraic groups (or a coordinate projection of such a morphism). Thus, for example, our results apply to decompositions of polynomials of degree not divisible by $ extrm{char}(K)$, additive polynomials, elliptic curve isogenies, and Lattès maps.

研究の動機と目的

• 被覆の非分解的被覆への因子分解が置換を除いて一意に定まる条件を特定すること。
• リットの多項式因子分解に関する古典的結果を、より広いクラスの曲線被覆に拡張すること。
• モノドロミー群の条件の下で被覆の合成における自己同型群の構造を特徴づけること。
• デデキンドモノドロミー条件の下で、非分解的因子の自己同型群の系列が全被覆の自己同型群を割り切ることを証明すること。
• これらの一意性結果が適用可能な自然な被覆クラス（例：多項式、準同型写像、ラッティーズ写像）を特定すること。

提案手法

• モノドロミー群理論を用いて、推移的アーベルまたはデデキンド部分群に注目して曲線被覆の構造を分析する。
• 群論的道具を適用：準ハミルトニアン群およびデデキンド群、正規化部分群、モノドロミー群内の部分群格子。
• デデキンドモノドロミー条件の下で、合成 ψ = θ∘ρ に対して Aut(ψ) から Aut(θ) への自然な準同型を構成し、その核を Aut(ρ) とする。
• 体拡大と被覆の間のガロア的対応を用いて、群論的性質を幾何的性質に翻訳する。
• ファイバー積分解と写像のグラフへの自己同型群作用を用いて、因子分解成分の一意性を証明する。
• 帰納的群列の議論を用いて、Mon(φ) に推移的デデキンド部分群が存在するとき、|Aut(φ)| が ∏|Aut(φ_i)| を割り切ることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆 φ: C → D のモノドロミー群にどのような条件が課されると、その非分解的因子の次数の系列が置換を除いて一意に定まるか？
• RQ2 被覆 φ の完全分解における非分解的因子のモノドロミー群の系列が、同型および置換を除いて一意に定まるのはいつか？
• RQ3 合成被覆 φ = φ_n ∘ … ∘ φ_1 の自己同型群が因子の自己同型群の積を割り切るか。また、その条件はどのようなモノドロミー条件の下で成り立つか？
• RQ4 多項式、準同型写像、ラッティーズ写像などの自然な被覆クラスのうち、因子分解系列の一意性条件を満たすのはどれか？
• RQ5 有理型関数 f に対して |Aut(f)| が ∏|Aut(f_i)| を割り切るという予想が一部の場合は成り立つが他では成り立たないのはなぜか。その背後にある群論的条件は何か？

主な発見

• 被覆 φ のモノドロミー群に推移的アーベル部分群が存在するならば、任意の完全分解における次数の系列 (deg φ_i) は置換を除いて一意に定まる。
• Mon(φ) に推移的デデキンド部分群が存在するとき、モノドロミー群の系列 (Mon(φ_i)) および自己同型群の系列 (Aut(φ_i)) は、同型および置換を除いて一意に定まる。
• 推移的デデキンドモノドロミー群をもつ被覆では、ψ = θ∘ρ に対して自然な準同型 Aut(ψ) → Aut(θ) が存在し、その核が Aut(ρ) となる。これは合成における自己同型群の構造的制御を示す。
• Mon(φ) に推移的デデキンド部分群が存在するとき、合成被覆 φ に対して |Aut(φ)| が ∏_{i=1}^n |Aut(φ_i)| を割り切る。
• この結果は、D(𝕂̄) の一点において正則かつ完全に分岐する被覆すべてに適用可能であり、char(K) で割り切れない次数の多項式、加法的多項式、楕円曲線の準同型写像、およびラッティーズ写像を含む。
• 有理型関数 f に対して |Aut(f)| が ∏|Aut(f_i)| を割り切るという予想は一般には誤りであり、f(X) = X^3 + X^{-3} を ℂ 上で反例として示すとおり、その割り切りは成立しない。