[論文レビュー] On Fall Colorings of Graphs

Saeed Shaebani|ArXiv.org|Sep 15, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、各頂点が閉近傍内ですべての色を含む必要があるグラフのフォール彩色を調査する。辞書的積およびカテゴリカル積におけるフォール彩色の条件を確立し、Mycielskianグラフのフォール彩色を特徴づけ（それらが常に空であることを証明）、二部グラフの補グラフにおけるフォール彩色が彩色数によって一意に定まることが示され、元のグラフにおける完全マッチングの存在に基づいて多項式時間で判定可能である。

ABSTRACT

A fall $k$-coloring of a graph $G$ is a proper $k$-coloring of $G$ such that each vertex of $G$ sees all $k$ colors on its closed neighborhood. We denote ${ m Fall}(G)$ the set of all positive integers $k$ for which $G$ has a fall $k$-coloring. In this paper, we study fall colorings of lexicographic product of graphs and categorical product of graphs and answer a question of \cite{dun} about fall colorings of categorical product of complete graphs. Then, we study fall colorings of union of graphs. Then, we prove that fall $k$-colorings of a graph can be reduced into proper $k$-colorings of graphs in a specified set. Then, we characterize fall colorings of Mycielskian of graphs. Finally, we prove that for each bipartite graph $G$, ${ m Fall}(G^{c})\subseteq \{χ(G^{c}) \}$ and it is polynomial time to decision whether or not ${ m Fall}(G^{c})=\{χ(G^{c}) \}$.

研究の動機と目的

• グラフの辞書的積およびカテゴリカル積におけるフォール彩色を特徴づける。
• 完全グラフのカテゴリカル積におけるフォール彩色に関する未解決問題を解決する。
• グラフの和集合におけるフォール彩色およびその構造的制約を研究する。
• 特定のクラスのグラフにおいて、フォールk彩色が適切なk彩色に還元されることを示す。
• Mycielskianグラフのフォール彩色を特徴づけ、それらが常に空であることを証明する。
• 二部グラフの補グラフにおけるフォール彩色を分析し、多項式時間での判定可能性を確立する。

提案手法

• ベースとなるグラフからのフォール彩色の伝播を分析するために、辞書的積の構成を用いる。
• f(x,y) = (g(x), h_g(x)(y)) という彩色関数を適用し、G[H]におけるフォール彩色をGおよびHのフォール彩色から構成する。
• 構造的グラフ解析を用いて、Mycielskianグラフがフォール彩色をもたないことを証明する。
• 二部グラフの補グラフを、非孤立頂点上の誘導部分グラフおよびその完全マッチングを調べることで分析する。
• G^cにおいて、各色クラスは単一の頂点または二部分割の異なる部に属する2頂点のペアであることを用いる。
• Fall(G^c)の決定問題を、非孤立頂点上の誘導部分グラフにおける完全マッチングの存在に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辞書的積G[H]がフォールk彩色をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 完全グラフのカテゴリカル積におけるフォール彩色は完全に特徴づけられるか？また、本稿の構成は[3]における未解決問題を解消するか？
• RQ3 Mycielskian構成はフォール彩色の可能性を保存するか？もしなければ、その理由は何か？
• RQ4 二部グラフGに対して、Fall(G^c)が空でないのはいつか？そのフォール彩色の構造はどのようなものか？
• RQ5 二部グラフGに対して、Fall(G^c) = {χ(G^c}) かどうかを多項式時間で判定可能か？

主な発見

• 辞書的積G[H]がフォールk彩色をもつのは、GおよびHがそれぞれフォール彩色をもつときであり、かつkがGの各色クラスに対応するHのフォール彩色の総和に等しいときである。
• Fall(G[H])が空でないのはFall(H)が空でないときであり、各x ∈ V(G)に対して、fが誘導するH_xの彩色は、|S_x|-色のフォール彩色である。
• 任意のグラフGのMycielskianはフォール彩色をもたない、すなわちFall(M(G)) = ∅である。これは頂点zにおける色優位性から生じる矛盾による。
• 任意の二部グラフGに対して、Fall(G^c) ⊆ {χ(G^c)} であり、Fall(G^c) = {χ(G^c)} であることは、非孤立頂点上の誘導部分グラフが完全マッチングをもつことと同値である。
• Fall(G^c) = {χ(G^c)} かどうかを判定する問題は、多項式時間で解ける。これは、非孤立頂点上の誘導部分グラフにおける完全マッチングの存在を確認することに還元される。
• G^cのフォール彩色はGの構造によって一意に定まる：各色クラスは孤立頂点（Gにおける）または異なる部に属する2頂点のペア{y,z}である。