[論文レビュー] On families of n-congruent elliptic curves

Tom Fisher|arXiv (Cornell University)|May 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、不変量理論を用いてモジュラー曲線 X(n) のねじれを計算することで、ℚ 上で非同型の楕円曲線の無限族を明示的に構成し、n = 9 および n = 11 に対して n-同型であるものを作成している。n = 11 に対しては初めての明示的例を提供し、n = 7 および n = 9 の既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

We use an invariant-theoretic method to compute certain twists of the modular curves X(n) for n=7,9,11. Searching for rational points on these twists enables us to find non-trivial pairs of n-congruent elliptic curves over Q, i.e. pairs of non-isogenous elliptic curves over Q whose n-torsion subgroups are isomorphic as Galois modules. We also show by giving explicit non-trivial examples over Q(T) that there are infinitely many examples over Q in the cases n=9 and n=11.

研究の動機と目的

• ℚ 上で非同型の n-同型楕円曲線のペアが無限に存在するという予想を、n = 9 および n = 11 に対して証明すること。
• 代数幾何学と不変量理論を用いて、そのようなペアの明示的族を構成すること。
• n = 9 および n = 11 に対して、モジュラー曲線 X_E(n) および X_E^-(n) の明示的方程式を提供し、有理点の探索を可能にすること。
• n = 7 に対する既知の結果を n = 9 および n = 11 に拡張し、明示的かつ計算可能な族を提供すること。
• n = 11 に対する先行研究における明示的例の欠如を、X(n) のねじれ上の有理点探索により解決すること。

提案手法

• 不変量理論的手法を用いて、n = 7, 9, 11 に対してモジュラー曲線 X(n) のねじれを計算し、特に n-同型楕円曲線をパラメトライズする X_E(n) および X_E^-(n) に注目する。
• SL_2(ℤ/nℤ) の X(n) 上への作用に関する代数的公式を適用し、与えられた楕円曲線 E に対応するねじれの式を導出する。
• E[n] に μ_n が含まれる曲線 E に対して、X_E(n) および X_E^-(n) の簡略化された公式を導出し、計算を容易にする。
• 得られた式を ℚ 上で最小化および還元することで、有理点探索を簡略化する。
• j-不変量写像 j: X_E(n) → ℙ^1 および j: X_E^-(n) → ℙ^1 を用いて、有理点の探索をガイドする。
• n = 9 の場合に、X_E(9) → X_E(3) の自然な写像の幾何的構造を活用し、族の構成を簡素化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上で非同型の楕円曲線のペアが、n = 9 および n = 11 に対して無限に存在するか？
• RQ2 n = 9 および n = 11 に対して、そのような n-同型ペアの明示的族を構成できるか？
• RQ3 n = 9 および n = 11 に対して、モジュラー曲線 X_E(n) および X_E^-(n) の代数的方程式は何か？
• RQ4 不変量理論的手法を用いて、n = 11 に対する明示的例の欠如を克服できるか？
• RQ5 X(n) のねじれ上の有理点はどのようにして有効に計算され、ℚ 上の n-同型楕円曲線を生成するために用いられるか？

主な発見

• 論文は、ℚ 上で非同型の 9-同型楕円曲線のペアを無限に構成し、n = 9 に対してその予想を証明した。
• n = 11 に対して、ℚ 上で非同型の 11-同型楕円曲線の無限族を初めて明示的に構成し、先行研究における空白を埋めた。
• X_E(9) および X_E^-(9)、および X_E(11) および X_E^-(11) の明示的方程式が導出され、有理点の体系的探索が可能になった。
• この手法により、121 組の 9-同型楕円曲線のペアと 100 組の 11-同型楕円曲線のペアが明示的に得られ、表 1 および表 2 に掲載された。
• n = 9 の構成では、X_E(9) → X_E(3) の自然な写像が単純な幾何的記述を持つことを利用し、有理点探索を簡素化した。
• n = 11 の場合、j-不変量写像 j: X_E(11) → ℙ^1 および j: X_E^-(11) → ℙ^1 が計算可能であることが示され、高 genus であっても有効な有理点探索が可能となった。