[論文レビュー] On Families of Pure Slope $L$-Functions

Elmar Große-Klönne|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p$-進解析的空間上の純斜度$\sigma$-加群に関連する$L$-関数の有理型拡張を確立し、ワンのDwork予想の証明を一般化する。$K$-rigidな解析的重み空間$\mathcal{W}$を構成し、核となる$\sigma$-加群のGrothendieck群における斜度分解を示すことにより、$L$-関数$L(T,\kappa)$が$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}_p} \times \mathcal{W}$上で有理型であることを示した。これは、単位根$L$-関数に関する以前の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Let $R$ be the ring of integers in a finite extension $K$ of $\mathbb{Q}_p$, let $k$ be its residue field and let $χ:π_1(X) o R^{ imes}=GL_{1}(R)$ be a "geometric" rank one representation of the arithmetic fundamental group of a smooth affine $k$-scheme $X$. We show that the locally $K$-analytic characters $κ:R^{ imes} o\mathbb{C}_p^{ imes}$ are the $\mathbb{C}_p$-valued points of a $K$-rigid space ${\cal W}$ and that $$L(κ\circχ,T)=\prod_{\overline{x}\in X}\frac{1}{1-(κ\circχ)(Frob_{\overline{x}})T^{°(\overline{x})}},$$viewed as a two variable function in $T$ and $κ$, is meromorphic on $\mathbb{A}_{\mathbb{C}_p}^1 imes{\cal W}$. On the way we prove, based on a construction of Wan, a slope decomposition for ordinary overconvergent (finite rank) $σ$-modules, in the Grothendieck group of nuclear $σ$-modules.

研究の動機と目的

• ワンによる単位根$L$-関数の$p$-進有理型拡張に関するDwork予想の証明を、高ランクおよび純斜度$L$-関数へ一般化すること。
• 局所$K$-解析的関数$\kappa: R^\times \to \mathbb{C}_p^\times$をパラメータ化する$K$-rigidな解析的空間$\mathcal{W}$を構成すること。ここで$R$は$p$-進体の整数環である。
• 核となる$\sigma$-加群のGrothendieck群における、通常の収束$\sigma$-加群の斜度分解を確立すること。
• $L$-関数$L(T,\kappa) = \prod_{\overline{x} \in X} \frac{1}{1 - (\kappa \circ \chi)(\mathrm{Frob}_{\overline{x}}) T^{\deg(\overline{x})}}$が$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}_p} \times \mathcal{W}$上で有理型であることを示すこと。

提案手法

• 有限次拡大$K$の$\mathbb{Q}_p$における$p$-進体$K$の整数環$R$をとる。$K$-rigidな解析的空間$\mathcal{W}$を、局所$K$-解析的関数$\kappa: R^\times \to \mathbb{C}_p^\times$をパラメータとする空間として構成する。
• 弱形式的$R$-代数$A$を、滑らかなアフィン$k$-スキーム$X$に上に上げたものとしてとる。$p$-進完備化$\widehat{A}$上の$\sigma$-加群にワンの極限加群構成を適用する。
• 通常の収束$\sigma$-加群のHodge-Newton斜度分解を、Grothendieck群$\Delta(\widehat{A})$における核となる収束行列$\mathcal{C}_r$の収束級数として表すことで証明する。ここで$\mathcal{C}_r$は斜度で添え字づけられる。
• トレース公式と$\sigma$-加群の双対性を用いて、$L$-関数をファイバー上のフロベニウスの特徴多項式に関連づける。公式は$\underline{H}(T,\iota(y)) = L(\xi^t \mu^s \mu^y, T)$で与えられる。
• フィルトレーションの段階ごとの帰納法を用いて、$\sigma$-加群の順次的成分を単位根成分と高斜度成分に分解する。ワンとコールマングの$\sigma$-加群理論に関する結果を活用する。
• コールマングによる関手的性質の結果を用いて、$\mathcal{W}$上を$\sigma$-加群の極限加群をrigid analytically変化させ、$L$-関数の均一な有理型性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位根$L$-関数の$p$-進有理型拡張は、純斜度$\sigma$-加群に関連する$L$-関数へ拡張可能か。
• RQ2 $L$-関数$L(T,\kappa)$が$\mathcal{W}$上で有理型に変化するような、局所$K$-解析的関数$\kappa$をパラメータ化する、標準的な$K$-rigidな解析的空間$\mathcal{W}$が存在するか。
• RQ3 核となる$\sigma$-加群のGrothendieck群において、通常の収束$\sigma$-加群に対して斜度分解が存在するか。
• RQ4 ランク1表現$\chi: \pi_1(X) \to R^\times$に関連する$L$-関数が、$\kappa$が$\mathcal{W}$上を動くとき、$T$および$\kappa$の両方で有理型であることを示せるか。

主な発見

• $L$-関数$L(T,\kappa) = \prod_{\overline{x} \in X} \frac{1}{1 - (\kappa \circ \chi)(\mathrm{Frob}_{\overline{x}}) T^{\deg(\overline{x})}}$は、$\mathcal{W}$を$R^\times \to \mathbb{C}_p^\times$の局所$K$-解析的関数の$K$-rigidな解析的スペクトルとして構成した$K$-rigidな解析的空間とすると、$\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}_p} \times \mathcal{W}$上で有理型である。
• $\mathcal{W}$は、$R^\times$上の局所$K$-解析的関数の環のrigid analytic spectrumとして構成され、$\kappa$の幾何的パラメータ空間を提供する。
• Grothendieck群$\Delta(\widehat{A})$においてHodge-Newton斜度分解が確立され、通常の収束$\sigma$-加群の順次的成分の類$[\mathcal{M}]$が、核となる収束行列$\mathcal{C}_r$の収束級数$[\mathcal{M}] = \sum_{r \geq 1} \pm [\mathcal{C}_r]$として表される。
• $L(T,\kappa)$の有理型拡張は、斜度分解とトレース公式から導かれる。トレース公式により、$L$-関数は$\sigma$-加群のファイバー上のフロベニウスの特徴多項式に関連づけられる。
• $\kappa$を$r \mapsto r^k$に特殊化すると、純斜度$p$-進$L$-関数の有理型拡張に関するワンの結果が回復される。
• 証明はコールマングによる関手的性質の結果に依存しており、極限加群を$\mathcal{W}$上でrigid analytically変化させることで、$L$-関数の均一な有理型性を保証する。