[論文レビュー] On families of triangular Hopf algebras

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限超群の捩りを用いて構成される、複素数上の有限次元三角的ホップフ代数 $A(G,V,u,B)$ の族を研究し、ホップフ代数同型の条件を確立するとともに、これらの族が非同型代数の連続的モジュライ空間を形成できることを示している。主な結果は、連続的族としての三角的ホップフ代数の構成であり、これは弱化されたカプルスキーの10番目の予想を反証するものであり、同じグローテンディーク環を持つが、同値でないリッチなテンソル構造を無限に持つ有限アーベル圏の初の既知の例を提供する。

ABSTRACT

Following the ideas of our previous works math.QA/0008232 (joint with Andruskiewitsch) and math.QA/0101049, we study families of triangular Hopf algebras obtained by twisting finite supergroups by a twist lying entirely in the odd part. These families are parametrized by data (G,V,u,B), where G is a finite group, V its finite dimensional representation, u a central element of G of order 2 acting by -1 on V, and B an element of S^2V. We fix the discrete data G,V,u, and find the set of isomorphism classes of the members of the family as Hopf algebras, in terms of the continuous parameter B. This set is often infinite, which provides examples of nontrivial continuous families of triangular Hopf algebras. The lowest dimension in which such a family occurs is 32, in which case we get 3 families which are dual to the 3 families of pointed Hopf algebras of dimension 32 constructed recently by Grana. Furthermore, we show that if (S^2V)^G=0 then such continuous families are nontrivial not only up to a Hopf algebra isomorphism, but also up to twisting of the multiplication. Thus, they provide counterexamples to Masuoka's weakened Kaplansky's 10th conjecture, which claims that up to twisting, there are finitely many types of Hopf algebras in each dimension. Finally, we study the algebra structure of the duals of our families, and show they are direct sums of Clifford algebras. Since there are finitely many types of Clifford algebras in each dimension, this allows us to construct nontrivial families of rigid tensor structures on the abelian category of modules over a finite dimensional algebra, with a fixed Grothendieck ring.

研究の動機と目的

• 有限超群の捩りを用いて構成される三角的ホップフ代数 $A(G,V,u,B)$ の同型類を分類すること。
• このような族が非同型ホップフ代数の連続的モジュライ空間を生じうるかを調査し、カプルスキーの10番目の予想に挑戦すること。
• 双対ホップフ代数 $A(G,V,u,B)^*$ の代数構造を解析し、それがクリフォード代数の直和に同型であることを示すこと。
• 結果をテンソル圏論に応用し、特に固定されたグローテンディーク環を持つ有限アーベル圏におけるリッチなテンソル構造の分類に寄与すること。
• これらのホップフ代数の表現圏が、同じグローテンディーク環を持つにもかかわらず、無限に多くの同値でないテンソル構造を有することを示すこと。

提案手法

• 代数 $A(G,V,u,B)$ の構成は、$\mathbb{C}[G \ltimes V]$ のドリンフェルド捩り $J = e^B$ を用いたものであり、$B \in S^2V$ である。
• ホップフ代数 $A(G,V,u,B)$ の同型類は、群同型 $\phi: G_1 \to G_2$ および $G_1$-不変同型 $\eta: V_1 \to \phi^*V_2$ によって決定され、$B_1$ と $B_2$ が $(S^2V_2)^{G_2}$ に関して同値である場合に限る。
• 同型類のモジュライ空間は代数幾何学的手法を用いて分析され、特に自己同型群が $S^2V$ に作用する場合に注目し、接空間へのリー代数作用の上への性質が主な道具となる。
• 双対代数 $A(G,V,u,B)^*$ は、対称テンソルの構造と群作用を介して、クリフォード代数の直和に同型であることが示される。
• シュアウエンブルグの定理（準代数的代数の捩り同値性）を応用し、表現圏のテンソル同値性とホップフ代数の捩り同値性の関係を確立する。
• $(S^2V)^G = 0$ かつ $|S^2V / \mathrm{Aut}(G,V)|$ が無限であるとき、族 $A(G,V,u,B)$ が非可算無限個の捩り同値でないホップフ代数を生成することを示すことにより、連続的族の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのホップフ代数 $A(G,V,u,B)$ と $A(G',V',u',B')$ が、それらの三角的構造とは独立してホップフ代数として同型であるための条件は何か？
• RQ2 非同型の三角的ホップフ代数の連続的族は存在可能か？もし存在するならば、その最小次元は何か？
• RQ3 同じグローテンディーク環を持つが、同値でないリッチなテンソル構造を無限に持つ有限アーベル圏は存在するか？
• RQ4 $A(G,V,u,B)^*$ の代数構造はクリフォード代数とどのように関係するか？また、一つの族内でいくつの異なる余代数型が存在するか？
• RQ5 捩り同値性は、これらのホップフ代数の表現圏をどの程度分類できるか？また、これはテンソル圏の分類にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 同型類のモジュライ空間は正の次元を有しており、ホップフ代数の連続的族が存在することが示され、32次元が連続的族を有するホップフ代数の最小次元として知られている。
• 32次元では、非同型の三角的ホップフ代数の1パラメータ族が3つ構成され、[Gr]で得られた族の双対として得られ、それらがコトリアングル的であることが確認された。
• $(S^2V)^G = 0$ のとき、族 $A(G,V,u,B)$ は非可算無限個の非同型ホップフ代数を含み、そのうち捩り同値なものは有限個に限る。これにより、マスウカが提起したカプルスキーの10番目の予想の弱化形が反証された。
• 双対代数 $A(G,V,u,B)^*$ は、クリフォード代数の直和に代数的に同型であることが示され、各族内で異なる代数（および余代数）型は有限個に限る。
• 表現圏 $\mathrm{Rep}(A(G,V,u,B)^*)$ は、同じグローテンディーク環を持つが、同値でないリッチなテンソル構造を非可算無限個持つ。これは、このような有限アーベル圏の初の既知の例である。
• この構成により、無限に多くの同値でないリッチなテンソル圏を持つ有限アーベル圏が得られ、これはオクネアヌが半単純な場合に除外した現象ではあるが、非半単純な設定では可能である。