[論文レビュー] On feedback classification of control-affine systems with one and two-dimensional inputs

Andrei Agrachev, Igor Zelenko|ArXiv.org|Feb 1, 2005

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n次元多様体（スカラー入力ではn ≥ 4、2入力ではn = 4,5）上の一般の制御アフィン系について、状態フィードバック同値性の下で完全な局所分類を提供する。Poincaré級数を用いて標準的フレームとフィードバック不変量を導入し、分類問題を変数の数が異なる関数的モジュライに還元する。C^∞およびC^ωのカテゴリーにおける明示的パラメータ化と内在的モジュライ数の数え上げを実施する。

ABSTRACT

The paper is devoted to the local classification of generic control-affine systems on an n-dimensional manifold with scalar input for any n>3 or with two inputs for n=4 and n=5, up to state-feedback transformations, preserving the affine structure. First using the Poincare series of moduli numbers we introduce the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables on which a classification problem depends. In order to classify affine systems with scalar input we associate with such a system the canonical frame by normalizing some structural functions in a commutative relation of the vector fields, which define our control system. Then, using this canonical frame, we introduce the canonical coordinates and find a complete system of state-feedback invariants of the system. It also gives automatically the micro-local (i.e. local in state-input space) classification of the generic non-affine n-dimensional control system with scalar input for n>2. Further we show how the problem of feedback-equivalence of affine systems with two-dimensional input in state space of dimensions 4 and 5 can be reduced to the same problem for affine systems with scalar input. In order to make this reduction we distinguish the subsystem of our control system, consisting of the directions of all extremals in dimension 4 and all abnormal extremals in dimension 5 of the time optimal problem, defined by the original control system. In each classification problem under consideration we find the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables according to its Poincare series.

研究の動機と目的

• n ≥ 4 におけるスカラー入力の一般の制御アフィン系およびn = 4,5 における2入力系について、状態フィードバック同値性の下での完全な局所分類を確立すること。
• Poincaré級数を用いて、分類問題における変数の数が異なる関数的モジュライの内在的数を導出し、分類が関数の変数数に依存する度合いを定量すること。
• 可換関係における構造関数の正規化を用いて、スカラー入力系に標準的フレームとフィードバック不変構造を構築すること。
• n=4およびn=5における2入力問題を、極値系（n=4では時間最適、n=5では異常極値）の特定により、スカラー入力系に還元すること。
• 分類問題の特徴的パラメータ化を提供し、各変数数ごとの関数的不変量の数と重みを明示的に列挙すること。

提案手法

• 制御系を定義するベクトル場の可換関係における構造関数の正規化により、標準的フレームを構築する。
• 標準的フレームを用いて標準座標を定義し、状態フィードバック不変量の完全系を抽出する。
• Poincaré級数を用いて、分類問題における指定された変数数ごとの関数的モジュライの内在的数を計算する。
• n=4およびn=5における2入力問題を、極値系（n=4では時間最適、n=5では異常）の分離により、スカラー入力問題に還元する。
• 元の系をフィードバック同値性の下で一意に再構成可能な回復不変量R（5変数のフィードバック不変関数）を導入する。
• パラメータ行列Pの正規化を適用し、特徴的行列C = Norm(P)を導出し、重みと変数数による関数的不変量の特徴的パラメータ化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元多様体上におけるスカラー入力の一般の制御アフィン系について、n ≥ 4 の場合に、状態フィードバック不変量の完全集合は何か？
• RQ2 n=4およびn=5における2入力系の分類問題は、どのようにスカラー入力系に還元できるか？
• RQ3 Poincaré級数によって符号化された、分類問題における指定された変数数ごとの関数的モジュライの内在的数は何か？
• RQ4 分類問題の特徴的パラメータ化とは何か？ また、関数的不変量は重みと変数数ごとにどのように分布しているか？
• RQ5 回復不変量Rは、その還元と不変量からどのようにして元の系を一意に再構成可能か？

主な発見

• 2入力の一般の実解析的5次元制御アフィン系について、分類は5変数の関数の4つの局所的型、4変数の関数の10個、3変数の関数の10個、2変数の関数の5個に加え、回復不変量Rによってパラメータ化される。
• 分類問題のPoincaré級数は M(t) = 1/(1−t)^6 + t^3(5/(1−t)^3 + 10/(1−t)^4 + 10/(1−t)^5 + 3/(1−t)^6) で与えられる。
• 特徴的行列 C = Norm(P) は [[1,3,6,5],[0,0,0,16],[0,0,0,13],[0,0,0,4]] で与えられ、重みと変数数ごとの不変量の数を符号化している。
• n ≥ 5 における一般のスカラー入力系の分類は、C^ωカテゴリーにおいて微小局所的であり、微分1形式の分類と同値である。
• 特徴的パラメータ化には、5変数の不変量4個（重み0）、4変数の不変量13個（重み3）、3変数の不変量16個（重み3）、2変数の不変量1個（重み0）が含まれる。さらに、重み1,2,3における2変数不変量はそれぞれ3個,6個,5個である。
• 系は、その還元と回復不変量Rから一意に再構成可能であり、Rは5変数の重み0のフィードバック不変量である。