[論文レビュー] On Fejér monotone sequences and nonexpansive mappings

Heinz H. Bauschke, Minh N. Dao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実ヒルバート空間におけるフェージェル単調列の新たな収束条件を確立し、特に有限次元および漸近的正則性の仮定の下で考察する。非拡大かつ平均化可能な写像で、固定点集合の余次元が1以下である場合、差分列 $ T^n x - T^n y $ が収束することを証明しており、標準的なフェージェル単調性を超える収束結果を拡張し、最適化および不動点理論における反復アルゴリズムの解析に重要な道具を提供する。

ABSTRACT

The notion of Fejér monotonicity has proven to be a fruitful concept in fixed point theory and optimization. In this paper, we present new conditions sufficient for convergence of Fejér monotone sequences and we also provide applications to the study of nonexpansive mappings. Various examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間におけるフェージェル単調列の収束を保証する新たな十分条件を同定すること、特に有限次元設定において。
• 非拡大および平均化可能な写像によって生成される列の収束結果を、固定点集合の次元が低い場合に拡張すること。
• 写像およびその固定点集合の構造的仮定の下で、$ T^n x - T^n y $ の挙動を分析することにより、不動点理論における未解決問題に取り組むこと。
• フェージェル単調性および漸近的正則性を用いて収束保証を強化することで、凸最適化における反復アルゴリズムの理論的基盤を提供すること。

提案手法

• フェージェル単調性を、集合 $ E $ に関するフェージェル単調性と、$ E + K $ を定義する際の錐 $ K^\oplus $ への属性に分解する。
• 有限次元解析を適用し、影列 $ P_A x_n $ がすべてのクラスタ点を $ C $ に持つならば、$ C \subseteq A $ に対するフェージェル単調性のもとで $ P_A x_n \to \lim P_C x_n $ が成り立つことを示す。
• 漸近的正則性および平均化可能な写像の構造を用いて、特に $ \mathbb{R}^2 $ および $ \mathbb{R}^3 $ において $ T^n x - T^n y $ の挙動を分析する。
• 法線錐、射影子、反射子の使用を含む幾何学的および変分的技法を用い、ダグラス＝ラホード作用素の不動点集合を分析する。
• 弱クラスタ点と差集合 $ C - C $ に対する直交性の概念を応用し、収束基準を導出する。
• 既知の強非拡大および平均化可能な写像の結果を活用し、差分列 $ T^n x - T^n y $ の収束を示す再帰的不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基になる集合が空内部を持つ場合、フェージェル単調列が強く収束する条件は何か、特にその場合。
• RQ2 固定点集合の余次元が1以下である場合、平均化可能な非拡大写像に対して差分列 $ T^n x - T^n y $ は収束するか。
• RQ3 固定点集合が線分である場合、高次元空間（例：$ \mathbb{R}^3 $）において $ T^n x - T^n y $ の収束は保証されるか。
• RQ4 固定点集合が空であっても、写像が平均化可能である場合、$ T^n x - T^n y $ の収束はどのように変化するか。
• RQ5 固定点集合の余次元が2である場合、$ \mathbb{R}^3 $ におけるダグラス＝ラホード作用素について、$ T^n x + nv $ の収束は成立するか。

主な発見

• 有限次元空間では、$ P_A x_n $ のすべてのクラスタ点が $ C $ に含まれる限り、$ (x_n) $ が $ C \subseteq A $ に対してフェージェル単調である限り、$ P_A x_n \to \lim P_C x_n $ が成り立つ。
• $ \mathbb{R} $ 上の平均化可能な非拡大写像に対して、$ \operatorname{Fix}(T) = \varnothing $ であっても、ある有界性および符号変化条件を満たせば、差分列 $ T^n x - T^n y $ は収束する。
• $ \mathbb{R}^2 $ では、$ T $ が平均化可能で、$ v \neq 0 $ かつ $ \operatorname{Fix}(v+T) \neq \varnothing $ であれば、Corollary 3.12 により $ T^n x - T^n y $ は収束する。
• 有限次元空間 $ X $ に対して、$ T $ が平均化可能で $ \operatorname{codim}(\operatorname{Fix}(v+T)) \leq 1 $ であれば、Theorem 3.11 により $ T^n x - T^n y $ は収束する。
• ダグラス＝ラホード作用素に対して、$ \mathbb{R}^3 $ では $ \operatorname{Fix}(v+T) $ が線分（余次元2）であっても、$ T^n x + nv $ は収束する。これは、現在の定理がカバーする範囲を越える広範な収束性を示唆する。
• 例 4.1 の数値的証拠に基づき、本稿は $ \mathbb{R}^3 $ におけるダグラス＝ラホード作用素について、$ T^n x + nv $ の収束が成立すると予想している。