[論文レビュー] On Fenchel-Nielsen coordinates on Teichmüller spaces of surfaces of infinite type

Daniele Alessandrini, Lixin Liu+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ニールセン凸性を用いたネーター・コンパクト性の条件を確立することで、無限型の曲面のテイヒミュラー空間に対するフェンケル＝ニーレンベルク座標を導入する。フェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間を定義し、クーラー変形テイヒミュラー空間と比較し、有界性条件の下でそれらの間の恒等写像がホメオモルフィズムであることを示す。主な結果として、距離の同値性と位相的性質が得られる。

ABSTRACT

We introduce Fenchel-Nielsen coordinates on Teicmüller spaces of surfaces of infinite type. The definition is relative to a given pair of pants decomposition of the surface. We start by establishing conditions under which any pair of pants decomposition on a hyperbolic surface of infinite type can be turned into a geometric decomposition, that is, a decomposition into hyperbolic pairs of pants. This is expressed in terms of a condition we introduce and which we call Nielsen convexity. This condition is related to Nielsen cores of Fuchsian groups. We use this to define the Fenchel-Nielsen Teichmüller space associated to a geometric pair of pants decomposition. We study a metric on such a Teichmüller space, and we compare it to the quasiconformal Teichmüller space, equipped with the Teichmüller metric. We study conditions under which there is an equality between these Teichmüller spaces and we study topological and metric properties of the identity map when this map exists.

研究の動機と目的

• 無限型の曲面のテイヒミュラー空間にフェンケル＝ニーレンベルク座標を拡張し、標準的な有限型の手法が効かない状況を扱う。
• ニールセン凸性を用いて、そのような曲面に標準的な双曲的計量を定義し、任意の位相的パンツ分解が幾何的分解にホモトープにできるように保証する。
• 固定された幾何的パンツ分解に基づくフェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間を構成し、その距離的および位相的構造を研究する。
• フェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間とクーラー変形テイヒミュラー空間を比較し、それらの間の恒等写像を分析する。
• 両者のテイヒミュラー空間が一致する条件を特定し、恒等写像の連続性および有界性を研究する。

提案手法

• ニールセン凸性という、双曲的曲面に対して、すべての位相的パンツ分解が幾何的分解にホモトープにできる条件を導入する。
• ニールセン凸性が、一般化された双曲的パンツを貼り合わせることによる幾何的パンツ分解の存在と同値であることを証明する。
• 固定された幾何的パンツ分解に関して、長さおよびねじれパラメータが有界であるマーク付き双曲的構造の空間として、フェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{FN}$ を定義する。
• 距離 $ d_{FN}(x,y) = \sup_{i} \max\left( \left| \log \frac{l_x(C_i)}{l_y(C_i)} \right|, \, |l_x(C_i)\theta_x(C_i) - l_y(C_i)\theta_y(C_i)| \right) $ を用いてフェンケル＝ニーレンベルク距離を定義し、長さおよびねじれの変動を捉える。
• クーラー変形写像およびクーラー変形歪度を用いて、フェンケル＝ニーレンベルクとクーラー変形テイヒミュラー空間を比較する。
• 上界有界性が距離同値性に不可欠であることを示す反例を構成し、ある種の曲面が任意の分解に関して上界有界でないことも示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限型の曲面上の位相的パンツ分解が、どのようにすれば幾何的分解（双曲的パンツに分割）にホモトープにできるか。
• RQ2 ニールセン凸性は、幾何的パンツ分解の存在およびそのような曲面に於ける標準的双曲的計量との関係は何か。
• RQ3 フェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{FN}$ とクーラー変形テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{qc}$ が一致するのはどのような条件か。
• RQ4 恒等写像 $\mathcal{T}_{FN} \to \mathcal{T}_{qc}$ の位相的および距離的性質は何か、特に有界性条件の下で。
• RQ5 任意のパンツ分解に関して上界有界でない双曲的曲面が、無限型で存在するか。

主な発見

• ニールセン凸性は、幾何的パンツ分解の存在と同値である：任意の位相的分解が一般化された双曲的パンツに分割可能な幾何的分解にホモトープにできる。
• 基点 $H_0$ が長さおよびねじれパラメータの上界条件を満たすとき、フェンケル＝ニーレンベルク・テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ は適切に定義される。
• 基点 $H_0$ が選ばれたパンツ分解に関して上界有界であるとき、かつそのときに限り、$\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ から $\mathcal{T}_{qc}(H_0)$ への恒等写像はホメオモルフィズムである。
• フェンケル＝ニーレンベルク距離は、長さまたはねじれの絶対差を用いた代替距離とは同値でない。反例により、$d_{FN} \to \infty$ である一方で他の距離は $\to 0$ となる場合があることが示された。
• 任意のパンツ分解に関して上界有界でない双曲的曲面が、無限型で存在する。これは、先行研究の非完備な曲面の構成により示された。
• フェンケル＝ニーレンベルク距離は、長さとねじれの両方の変動を、両方のパラメータを制御する際に収束を保証する形で捉えている。絶対差に基づく単純な距離とは異なり、その性質を有する。