[論文レビュー] On Fermions in Compact momentum Spaces Bilinearly Constructed with Pure Spinors

Paolo Budinich|ArXiv.org|Feb 9, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、純粋スピン形式から双線形に構成されたコンパクトな運動量空間を用いてフェルミオン物理学の幾何学的統一を提案し、カルタンのスピン形式方程式が運動量空間において、Weyl、マクスウェル、ディラック、電弱模型といった基本的な運動方程式が自然に導かれることを示している。この構成は、$\mathbb{C}\ell(1,9)$ まで拡張可能なクリフォード代数に基づいており、複素数、クaternion、オクタニオンを用いて内部対称性（$U(1)$、$SU(2)$、$SU(3)$）を幾何学的に説明する。余剰次元は相互作用項として現れ、運動量空間における次元削減はヘリカル射影子による分離に相当する。

ABSTRACT

It is shown how the old Cartan's conjecture on the fundamental role of the geometry of simple (or pure) spinors, as bilinearly underlying euclidean geometry, may be extended also to quantum mechanics of fermions (in first quantization), however in compact momentum spaces, bilinearly constructed with spinors, with signatures unambiguously resulting from the construction, up to sixteen component Majorana-Weyl spinors associated with the real Clifford algebra $\Cl(1,9)$, where, because of the known periodicity theorem, the construction naturally ends. $\Cl(1,9)$ may be formulated in terms of the octonion division algebra, at the origin of SU(3) internal symmetry. In this approach the extra dimensions beyond 4 appear as interaction terms in the equations of motion of the fermion multiplet; more precisely the directions from 5$^{th}$ to 8$^{th}$ correspond to electric, weak and isospin interactions $(SU(2) \otimes U(1))$, while those from 8$^{th}$ to 10$^{th}$ to strong ones SU(3). There seems to be no need of extra dimension in configuration-space. Only four dimensional space-time is needed - for the equations of motion and for the local fields - and also naturally generated by four-momenta as Poincaré translations. This spinor approach could be compatible with string theories and even explain their origin, since also strings may be bilinearly obtained from simple (or pure) spinors through sums; that is integrals of null vectors.

研究の動機と目的

• カルタンの予想（純粋スピン形式の幾何学が素粒子物理学の根幹をなすか）が、コンパクトな運動量空間におけるフェルミオンの量子力学にまで拡張可能かどうかを検討すること。
• Weyl、ディラック、電弱模型といった基本的なフェルミオン方程式が、恣意的な仮定なしにスピン形式の双線形から自然に導かれるかどうかを示すこと。
• 複素数、クaternion、オクタニオンを用いた分割代数の複雑性の増加に伴い、内部対称性（$U(1)$、$SU(2)$、$SU(3)$）がどのように生成されるかを示すこと。
• 運動量空間における余剰次元が物理的時空空間ではなく相互作用に対応することを提案し、次元削減がヘリカル射影子による分離に相当することを示すこと。
• 実クリフォード代数 $\ mathbb{C}\ell(1,9)$ における双線形ゼロベクトルから、ストリングおよびスーパーストリングの幾何学的起源を提示すること。

提案手法

• 二成分Weylスピン形式から構成されるコンパクトな双線形多様体としての運動量空間を構築し、$\ mathbb{C}\ell(1,3)$ を得て、Weylおよびマクスウェル方程式が自然に出現することを示す。
• 二つの命題を用いて、単純なスピン形式空間をクリフォード代数の拡張により高次元スピン形式空間に埋め込み、符号および構造を保存する。
• $\ mathbb{C}\ell(7,1)$ または $\ mathbb{C}\ell}(1,7)$ からディラック方程式および核子-パイオン相互作用を導出する。8成分スピン形式は $SU(2)\otimes U(1)$ 対称性を符号化する。
• $\ mathbb{C}\ell(1,9)$ にこの枠組みを拡張し、マヨラナ-ウエイルスピン形式およびオクタニオン代数が自然に $SU(3)$ 対称性および強い相互作用を生み出す。
• 運動量空間におけるヘリカル射影子を適用してスピン形式の次元を削減し、相互作用項を排除する。次元削減は分離に相当する。
• $\ mathbb{C}\ell(1,9)$ における双線形ゼロベクトルの積分としてストリングを定式化し、スピン形式に基づくパrametrization により、この構成をストリング理論と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルタンが予想した純粋スピン形式の幾何学が、時空空間に加え、量子力学におけるフェルミオンの運動方程式の根幹をなすものとして拡張可能か？
• RQ2 複素数、クaternion、オクタニオンを用いたスピン形式構成の代数的複雑性の増加に伴い、内部対称性（$U(1)$、$SU(2)$、$SU(3)$）はどのように生成されるか？
• RQ3 運動量空間における4次元を超える余剰次元の物理的役割は何か？これらは配置空間ではなく相互作用に関係しているか？
• RQ4 運動量空間における次元削減がヘリカル射影子による分離として自然にモデル化可能か？追加の空間次元を必要とせずに相互作用項を排除できるか？
• RQ5 この枠組みにおいてストリングおよびスーパーストリングに幾何学的起源が存在するか？実クリフォード代数 $\ mathbb{C}\ell(1,9)$ における双線形ゼロベクトルから生じるか？

主な発見

• 純粋スピン形式からの運動量空間の構成は、空間時空代数の符号を $\ mathbb{C}\ell}(1,3)$ または $\ mathbb{C}\ell}(3,1)$ に明確に決定し、物理的時空と整合する。
• Weylおよびマクスウェル方程式は、$\ mathbb{C}\ell}(3)$ における二成分スピン形式から自然に出現し、運動量空間がそれらの幾何的定式化の自然な舞台となる。
• ディラックスピン形式のダブルットを含む最小のクリフォード代数は $\ mathbb{C}\ell}(7,1)$ または $\ mathbb{C}\ell}(1,7)$ であり、これにより核子-パイオン相互作用および電弱模型の骨格が幾何学的に得られる。
• 電荷に関連する $U(1)$ 対称性は、自己同型でないスピン形式構造を有する自己同型的類似理論から生じ、電荷を有する・持たないフェルミオンダブルットの幾何的説明を提供する。
• $\ mathbb{C}\ell}(1,9)$ 代数は、オクタニオン分割代数により実現可能であり、自然に $SU(3)$ 対称性を組み込み、強い相互作用を説明する。余剰次元は相互作用項に対応する。
• 運動量空間における次元削減（ヘリカル射影子による）は、2つの相互作用項を排除し、スピン形式空間の次元を半分に削減する。これは、追加の配置空間次元を必要とせずに、高次元成分を効果的に分離する。