[論文レビュー] On Fibers and Renormalization of Julia Sets and Multibrot Sets

Dierk Schleicher|ArXiv.org|Feb 26, 1999

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、複素力学におけるホロモルフィック力学における繊維（外部ラジアルペアによって定義されるジュリア集合およびマルチブロート集合の部分集合）が、正規化およびチューニング写像の下でどのように振る舞うかを調査する。本稿では、単臨界多項式に対して、繊維の自明性（局所的連結性を意味する）がチューニングおよび正規化の下で保存されることを証明し、周期が任意のものであっても、有界型シーゲル円板に関するペーテルスンの結果を一般化する。

ABSTRACT

We continue the description of Mandelbrot and Multibrot sets and of Julia sets in terms of fibers which was begun in IMS preprints 1998/12 and 1998/13a. The question of local connectivity of these sets is discussed in terms of fibers and becomes the question of triviality of fibers. In this paper, the focus is on the behavior of fibers under renormalization and other surgery procedures. We show that triviality of fibers of Mandelbrot and Multibrot sets is preserved under tuning maps and other (partial) homeomorphisms. Similarly, we show for unicritical polynomials that triviality of fibers of Julia sets is preserved under renormalization and other surgery procedures, such as the Branner-Douady homeomorphisms. We conclude with various applications about quadratic polynomials and its parameter space: we identify embedded paths within the Mandelbrot set, and we show that Petersen's theorem about quadratic Julia sets with Siegel disks of bounded type generalizes from period one to arbitrary periods so that they all have trivial fibers and are thus locally connected.

研究の動機と目的

• 任意の次数の単臨界多項式への一般化を含め、複素力学における局所的連結性の繊維に基づくアプローチを2次の場合を超えて展開すること。
• マルチブロート集合およびジュリア集合におけるチューニング写像および正規化の下で、繊維構造がどのように変化するかを分析すること。
• 周期1の有界型シーゲル円板を持つ2次ジュリア集合の局所的連結性に関するペーテルスンの結果を、任意の周期へ一般化すること。
• ブラナー＝ダウディのホメオモルフィズムやクロス正規化などの手技による手術操作の下でも、繊維の自明性が保存されることを確立すること。
• 繊維およびラジアルペア構造を用いて、マンデルブロ集合内の埋め込まれた経路および弧状連結性を特徴付けること。

提案手法

• 外部ラジアルペアが共通点に到達するように定義されたマルチブロート集合およびジュリア集合の繊維を定義し、内部成分については追加の分離を施す。
• 多項式的写像の理論およびヨッコツ・パズル技法を用いて、パズルピecesの収縮（繊維の自明性に同等）を分析する。
• チューニング写像および正規化を用いて、大きな集合（例：メインマルチブロート集合）における繊維構造と、小さなコピー（例：リトルマルチブロート集合）におけるそれとを関連付ける。
• ブラナー＝ダウディのホメオモルフィズムを用いて、マンデルブロ集合の異なる腕（リム）間で繊維の性質を移動させ、チューニングと整合することを示す。
• シーゲル円板が存在する場合には、臨界値に到達するラジアルのグランドオルビットを含めるように繊維の定義を拡張する。
• 周期nのシーゲル円板を持つパラメータは、周期nの双曲的成分の境界上に位置することを活用し、メインカーディオイドからのチューニング写像の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マンデルブロ集合における繊維の自明性は、チューニングおよび正規化の下でも局所的連結性を示唆するか？
• RQ2 単一の臨界点を持つ多項式に対して、ジュリア集合における繊維構造は正規化の下でも保存されるか？
• RQ3 周期1の有界型シーゲル円板を持つ2次ジュリア集合の局所的連結性に関するペーテルスンの結果を、任意の周期へ一般化できるか？
• RQ4 ブラナー＝ダウディのホメオモルフィズムは、マンデルブロ集合における繊維の自明性にどのように影響するか？
• RQ5 有理数パラメータラジアルペアは、繊維の分離および手術操作の下での自明性の保存に果たす役割は何か？

主な発見

• マルチブロート集合における繊維の自明性はチューニング写像の下で保存される：ある点が自明な繊維を持つことと、そのチューニング写像による像が自明な繊維を持つことは同値である。
• 単臨界多項式に対しては、ジュリア集合の任意の正規化が自明な繊維を持つならば、全ジュリア集合が自明な繊維を持ち、したがって局所的連結である。
• マンデルブロ集合におけるクロス正規化可能なパラメータの繊維は、そのクロス正規化された像の繊維が自明であることと同値である。
• マンデルブロ集合の1/2リムから1/3リムへのブラナー＝ダウディのホメオモルフィズムは、繊維の自明性を保存する。
• 有界型シーゲル円板を持つ2次多項式のジュリア集合は、周期にかかわらず自明な繊維を持ち、したがって局所的連結である。
• チューニング写像の適用および正規化の下での繊維不変性を介して、ペーテルスンの周期1定理が任意の周期へ一般化される。