[論文レビュー] On Fields With Only Finitely Many Maximal Subrings

Alborz Azarang|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最大部分環が有限個であるような体を完全に特徴づけ、それらが最大部分環をもたない唯一の部分体を含み、かつその上での有限次元拡大であることを証明している。主な結果は、有限個の最大部分環、最大部分環の有限鎖、および最大部分環をもたない部分体上の有限次元拡大の間の同値性を確立している。

ABSTRACT

Fields with only finitely many maximal subrings are completely determined. We show that such fields are certain absolutely algebraic fields and give some characterization of them. In particular, we show that the following conditions are equivalent for a field $E$: 1. $E$ has only finitely many maximal subrings. 2. $E$ has a subfield $F$ which has no maximal subrings and $[E:F]$ is finite. 3. Every descending chain $\cdots\subset R_2\subset R_1\subset R_0=E$ where each $R_i$ is a maximal subring of $R_{i-1}$, $i\geq 1$, is finite. Moreover, if one of the above equivalent conditions holds, then $F$ is unique and contains all subfields of $E$ which have no maximal subrings. Furthermore, all chains in $(3)$ have the same length, $m$ say, and $R_m=F$, where $m$ is the sum of all powers of primes in the factorization of $[E:F]$ into prime numbers.\\ We also determine when certain affine rings have only finitely many maximal subrings. In particular, we prove that if $R=F[α_1,\ldots,α_n]$ is an affine integral domain over a field $F$, then $R$ has only finitely many maximal subrings if and only if $F$ has only finitely many maximal subrings and each $α_i$ is algebraic over $F$, which is similar to the celebrated Zariski's Lemma. Finally, we show that if $R$ is an uncountable PID then $R$ has at least $|R|$-many maximal subrings.

研究の動機と目的

• 最大部分環が有限個であるような体を完全に分類すること。
• 体の拡大が最大部分環を有限個もつための構造的条件を特定すること。
• 体上のアフィン整域が最大部分環を有限個もつための条件を特徴づけること。
• ベース体および拡大体の代数的構造と最大部分環の個数との関係を確立すること。

提案手法

• 3つの条件の同値性を確立する：(1) 有限個の最大部分環、(2) 最大部分環をもたない部分体上の有限次元拡大、(3) 最大部分環の有限鎖。
• 整拡大における最大部分環の構造と絶対代数的体の性質を利用する。
• アフィン代数的領域とその最大部分環を分析するために、ザリスキの補題とアルチン＝テートの定理の結果を適用する。
• PIDにおける既約元と単元を用いた鎖構成により、最大部分環の個数に対する下界を導出する。
• 非可算なPIDを分析し、代数的独立性と既約性の議論を用いて、少なくとも|R|個の最大部分環をもつことを示す。
• 環に無限個の既約単元があるならば、無限個の下降鎖を持つ最大部分環が存在することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの体が最大部分環を有限個もつのか？
• RQ2 体の拡大において、拡大体が最大部分環を有限個もつために必要な構造的条件は何か？
• RQ3 体上のアフィン整域が最大部分環を有限個もつための条件は何か？
• RQ4 最大部分環の個数は、ベース体および拡大体の代数的構造とどのように関係するか？
• RQ5 非可算なPIDにおいて、無限個の下降鎖を持つ最大部分環を構成できるか？その結果、最大部分環の個数にどのような含意があるか？

主な発見

• 体$ E $が最大部分環を有限個もつための必要十分条件は、最大部分環をもたない部分体$ F $上の有限次元拡大であることである。
• 部分体$ F $は一意的であり、$ E $の最大部分環をもたないすべての部分体を含む。
• $ E $における最大部分環のすべての鎖は同じ有限長$ m $を持ち、$ R_m = F $である。ここで$ m $は$[E:F]$の素因数分解における各素数の指数の和である。
• アフィン整域$ R = F[\beta_1, \beta_2, \\\\ \beta_n] $が最大部分環を有限個もつための必要十分条件は、$ F $が有限個の最大部分環を持ち、各$ \beta_i $が$ F $上代数的であることである。これはザリスキの補題に類似している。
• 非可算なPID$ R $は少なくとも$ |R| $個の最大部分環をもち、このような環は無限個の下降鎖を持つ最大部分環をもつ。
• 体$ K $が有限個の最大部分環を持つならば、$ \beta^2 = 0 $を満たす$ T = K[\beta] $は$ 1 + |RgMax(K)| $個の最大部分環をもつ。