[論文レビュー] On Filter Banks and Wavelets Based on Chebyshev Polynomials

Renato J. Cintra, H. M. de Oliveira+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Image and Signal Denoising Methods参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、第二種チェビシェフ多項式から導かれたチェビシェフウェーブレットを紹介し、コンパクトサポート、優れた周波数選択性、およびカスケードアルゴリズムによる収束性を有するフィルタバンクを構築する。第一種チェビシェフフィルタとは異なり、第二種フィルタは安定したウェーブレット構築を可能にし、マルコフ連鎖理論を用いた収束性の証明がなされ、信号のノイズ除去応用において強い可能性を示している。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived from conventional first and second kind Chebyshev polynomials. Properties of Chebyshev filter banks are investigated, including orthogonality and perfect reconstruction conditions. Chebyshev wavelets have compact support, their filters possess good selectivity, but they are not orthogonal. The convergence of the cascade algorithm of Chebyshev wavelets is proved by using properties of Markov chains. Computational implementation of these wavelets and some clear-cut applications are presented. Proposed wavelets are suitable for signal denoising.

研究の動機と目的

• チェビシェフ多項式の直交性および再帰的性質を活用して、新しい離散ウェーブレットを構築すること。
• 第一種および第二種チェビシェフ多項式を用いたフィルタバンクの設計を行い、その完全再構成性および直交性の性質を分析すること。
• 特に第二種チェビシェフフィルタに関して、ウェーブレット構築におけるカスケードアルゴリズムの収束性を調査すること。
• 計算実装および信号のノイズ除去応用を通じて、実用的応用の有効性を示すこと。

提案手法

• 第一種の奇数次チェビシェフ多項式から、変換 $ H_m^{(1)}(e^{j heta}) = e^{-jm heta/2} T_m(\cos(\theta/2)) $ を用いてローパassingフィルタを導出し、2タップのインパulse応答が得られる。
• 第二種チェビシェフフィルタを $ h_m^{(2)}[n] = \frac{1}{m+1} $（$ n = 0,1,\dots,m $）として構築し、移動平均型応答を形成する。
• ローパassingおよびハイパスフィルタをペアリングしてフィルタバンクを構成し、適切なパワー補完性および対称性を確保する。
• カスケードアルゴリズムを繰り返し適用してウェーブレットを生成し、フィルタバンクの遷移行列に対するマルコフ連鎖理論を用いて収束性を証明する。
• 確率的行列解析により収束性を検証し、遷移行列が非可約かつ非周期的であり、一意の定常分布を持つことを示す。
• ウェーブレットを計算的に実装し、信号のノイズ除去タスクにおける性能をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種チェビシェフ多項式は、カスケードアルゴリズムを用いて安定なウェーブレットを構築するために効果的に利用可能か？
• RQ2 第二種チェビシェフ多項式は、カスケードプロセス下で収束するウェーブレット構築をもたらすか？
• RQ3 第一種および第二種チェビシェフ多項式から導かれたフィルタバンクの完全再構成性および直交性の性質は何か？
• RQ4 得られるウェーブレットの周波数選択性およびコンパクトサポートは、標準ウェーブレットと比較してどうか？
• RQ5 チェビシェフに基づくウェーブレットにおけるカスケードアルゴリズムの収束性について、理論的保証は存在するか？

主な発見

• 第二種チェビシェフ多項式に基づくチェビシェフウェーブレットは、フィルタバンクの遷移行列に対するマルコフ連鎖解析により、カスケードアルゴリズムで収束することが証明された。
• 第二種チェビシェフ多項式から導かれたフィルタバンクは非直交的であるが、完全再構成性を達成しており、コンパクトサポートを持つ。
• 第二種フィルタのマグニチュード応答は、移動平均フィルタに類似しており、良好な平滑化およびノイズ除去特性を示唆している。
• 第一種チェビシェフフィルタのカスケードアルゴリズムは収束しないことが判明し、この手法によるウェーブレット生成には不適切であることが示された。
• 第二種フィルタバンクの遷移行列は非可約かつ非周期的であり、ペロン＝フロベニウスの定理の収束条件を満たしている。
• 得られたウェーブレットは、計算的実装および応用例を通じて検証された結果、信号のノイズ除去において強い可能性を示している。