[論文レビュー] On finite induced crossed modules and the homotopy 2-type of mapping cones

Ronald Brown, Christopher D. Wensley|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 1995

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2次元のvan Kampen定理と交叉複体の手法を用いて、有限群から導かれる交叉モジュールが有限であることを確立する。有限群の分類空間の写像コーンのホモトピー2型を計算し、$BC_{n^2} ⑮_{B\theta} \Gamma BC_n$ の最初のPostnikov不変量が $H^3(C_n, A_n) \cong C_n$ の生成元であることを示し、自由交叉分解を用いて明示的な3次コサイクルを構成する。

ABSTRACT

Results on the finiteness of induced crossed modules are proved both algebraically and topologically. Using the Van Kampen type theorem for the fundamental crossed module, applications are given to the 2-types of mapping cones of classifying spaces of groups. Calculations of the cohomology classes of some finite crossed modules are given, using crossed complex methods.

研究の動機と目的

• 有限群から出発する誘導された交叉モジュールが有限である条件を確立すること。
• 有限群の分類空間の写像コーンのホモトピー2型を、交叉モジュール構造を用いて計算すること。
• コhomology類を用いて、そのような写像コーンの最初のPostnikov不変量を特定すること。
• 自由交叉分解が、コhomology類を表す明示的な3次コサイクルをどのように得られるかを示すこと。

提案手法

• 写像コーンにおける交叉モジュール $\pi_2(X,A) \to \pi_1(A)$ が、包含写像 $\pi_1(V) \to \pi_1(A)$ を介して、恒等交叉モジュール $\pi_1(V) \to \pi_1(V)$ から誘導されることを、2次元のvan Kampen定理（2-VKT）を用いて示す。
• BrownとHiggins（1987）の誘導された交叉モジュールの提示を用いて、構造と有限性を分析する。
• 交叉複体の手法を用いてコhomology類、特に $H^3(C_n, A_n)$ を計算し、自由交叉分解から明示的な3次コサイクルを構成する。
• 生成元 $t$ を $u^n$ に送る写像 $\iota: C_n \to C_{n^2}$ を用いて、誘導された交叉モジュール $\iota_*C_n \to C_{n^2}$ を定義し、その核を $C_n$-加群 $A_n$ とみなす。
• 自由加群 $F_3$ の生成元を $a_0 \in A_n$ に写像する3次コサイクル $f_3$ を特定し、境界写像による同定により、コhomology群を $C_n$ として計算する。
• コhomology群 $H^3(C_n, A_n)$ と境界写像 $\delta_4$ の余核との同型を用い、位数 $n$ の巡回群が得られることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限交叉モジュールから誘導される交叉モジュールが有限である条件は何か？
• RQ2 写像コーン $BC_{n^2} \cup_{B\theta} \Gamma BC_n$ のホモトピー2型は何か？
• RQ3 この写像コーンの最初のPostnikov不変量は何か？ そして、どのようにコhomology類として実現されるか？
• RQ4 誘導された交叉モジュール $\iota_*C_n \to C_{n^2}$ は、$H^3(C_n, A_n)$ の3次コサイクルとして実現可能か？
• RQ5 $n > 2$ のとき、$\nu_n: C_n \times C_n \to C_{n^2}$ で $\nu_n t_0 = \nu_n t_1 = u^n$ を満たす交叉モジュールは、誘導された交叉モジュールか？

主な発見

• 誘導された交叉モジュール $\iota_*C_n \to C_{n^2}$ は有限であり、核 $A_n$ は位数 $n$ の巡回 $C_n$-加群である。
• $H^3(C_n, A_n)$ は $C_n$ に同型であり、誘導された交叉モジュールの類によって生成される。
• 写像コーン $X = BC_{n^2} \cup_{B\theta} \Gamma BC_n$ の最初のPostnikov不変量は、$H^3(C_n, A_n) \cong C_n$ の生成元であり、2型が非自明であることを確認する。
• $w_0 \in F_3$ を $a_0 \in A_n$ に写像する3次コサイクル $f_3$ は、境界写像 $\delta_4$ を用いて計算され、$H^3(C_n, A_n)$ の生成元を表す。
• 偶数 $n$ の場合、$H^3(C_n, C_n') \cong C_2$ は、$\nu_n: C_n \times C_n \to C_{n^2}$ によって表され、$n > 2$ のときそれが誘導されたものかどうかは不明である。
• 自由交叉分解を用いて明示的な3次コサイクルを構成する手法は、有効的で、他の有限交叉モジュールへ一般化可能である。