[論文レビュー] On finite Morse index solutions to the quadharmonic Lane-Emden equation

Senping Luo, Juncheng Wei+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 内の四調和型 Lane-Emden 方程式 $Δ^4 u = |u|^{p-1}u$ について、Joseph-Lundgren の臨界指数 $p_c(n)$ を確立し、単調性公式を導出し、有限モーレ指数解を分類する。$p < p_c(n)$ のとき、このような解は恒等的に 0 に等しくなることを証明する。$n \geq 18$ の場合、$p_c(n)$ は明示的に計算され、$n \leq 17$ の場合、$p_c(n) = \infty$ である。これらの結果は、高階楕円型方程式への Liouville 型定理の拡張を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we compute the Joseph-Lundgren exponent for the quadharmonic Lane-Emden equation, derive a monotonicity formula and classify the finite Morse index solution to the following quadharmonic Lane-Emden equation: oindent \begin{equation} onumber Δ^4 u=|u|^{p-1}u\;\;\;\;\hbox{in}\;\;\;\;\; \R^n. \end{equation} As a byproduct, we also get a monotonicity formula for the quadharmonic maps $ Δ^4 u=0$.

研究の動機と目的

• 四調和型 Lane-Emden 方程式 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ における Joseph-Lundgren の臨界指数 $p_c(n)$ を $\mathbb{R}^n$ 上で計算すること。
• 安定解および有限モーレ指数解に対して、単調性公式を導出すること。
• すべての有限モーレ指数解を分類し、Liouville 型定理を証明すること。具体的には、$p$ に依存する条件下で、このような解は自明（$u \equiv 0$）でなければならないことを示すこと。
• 既存の Liouville 型結果を第二階から第四階の非線形楕円型方程式へ拡張すること。

提案手法

• 重み付きエネルギー関数 $E(r,0,u)$ を用いて、$|\Delta^2 u|^2$ と $|u|^{p+1}$ を含むエネルギー関数を導出し、方程式 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ の解に対して単調性公式を導出する。
• スケーリングの議論として、吹き出し列 $u^\lambda(x) = \lambda^{8/(p-1)} u(\lambda x)$ を用いて、無限遠における漸近的挙動を分析する。
• 微分の評価と減衰評価を適用して、単調性公式における誤差項を制御し、$E(r,0,u)$ が有界であり、最終的に 0 に収束することを示す。
• スケーリング極限から得られる極限解 $u^\infty$ の同次性を用いて、$p < p_c(n)$ のとき $u^\infty \equiv 0$ を導出し、それによって $u \equiv 0$ を得る。
• Pohozaev 型の恒等式とアニュラ領域における部分積分を用いて、$p = \frac{n+8}{n-8}$ のときエネルギー恒等式 $\int |\Delta^2 u|^2 = \int |u|^{p+1}$ を導出する。
• $n \geq 18$ の場合に有効な、根号と高次多項式を含む複雑な代数的表現を用いて、$p_c(n)$ の明示的形を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四調和型 Lane-Emden 方程式 $\mathbb{R}^n$ 上で、Joseph-Lundgren の臨界指数 $p_c(n)$ の正確な値は何か？
• RQ2 有限モーレ指数解 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ が恒等的に 0 に等しくなるための $p$ に関する条件は何か？
• RQ3 四調和型方程式の解に対して単調性公式を確立できるか？また、その公式は無限遠における解の挙動をどのように制御するか？
• RQ4 エネルギーが有限である解の分類において、臨界指数 $p = \frac{n+8}{n-8}$ の役割は何か？
• RQ5 スケーリング極限 $u^\lambda$ の挙動はどのように振る舞い、解の構造をどのように明らかにするか？

主な発見

• $n \leq 17$ の場合、Joseph-Lundgren の臨界指数は $p_c(n) = \infty$ であり、$p < \infty$ のときすべての有限モーレ指数解が 0 に等しくなる。これは $p > 1$ のすべての $p$ に対して成立する。
• $n \geq 18$ の場合、Joseph-Lundgren の臨界指数は $p_c(n) = \frac{n+6-2d(n)}{n-10-2d(n)}$ であり、$d(n)$ は $n$ の根号と多項式を含む複雑な式である。$n \to \infty$ のとき $p_c(n) \to \infty$ に収束する。
• 有限モーレ指数解 $\Delta^4 u = |u|^{p-1}u$ は、$1 < p < \frac{n+8}{n-8}$ または $\frac{n+8}{n-8} < p < p_c(n)$ のとき、恒等的に 0 に等しくなる。
• 臨界指数 $p = \frac{n+8}{n-8}$ では、有限モーレ指数解は有限エネルギーを持つ。すなわち、$\int_{\mathbb{R}^n} |\Delta^2 u|^2 = \int_{\mathbb{R}^n} |u|^{p+1} < \infty$ が成り立つ。
• 単調性公式により、$r \to \infty$ および $r \to 0$ のとき $E(r,0,u) \to 0$ となり、$E(r,0,u) \equiv 0$ となる。これにより、$u$ は同次的となり、$p < p_c(n)$ のとき $u \equiv 0$ となる。
• スケーリング極限 $u^\lambda$ は同次解 $u^\infty$ に収束する。$p < p_c(n)$ のとき、$u^\infty \equiv 0$ であり、$|x|^{8/(p-1)}|u(x)| \to 0$ が $|x| \to \infty$ のとき成り立つ。