[論文レビュー] On flat trigonometric sums and ergodic flow with simple Lebesgue spectrum

A. A. Prikhod’ko|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平坦な三角和に関する解析的問題を解くことによって、単純なルベーグスペクトルをもつランク1フローを構成する。ユニモジュラー多項式と指数的階段状周波数関数を用い、特定のランク1フローがルベーグ測度と等価なスペクトル測度をもつことを示し、バナッハの、このような系が単純なルベーグスペクトルをもつ存在に関する問いに答えを提示する。

ABSTRACT

A complex polynomial $P(z) = c_0 + c_1 z +...+ c_n z^n$ is called unimodular if $|c_j| = 1$, $j = 0,...,n$. Littlewood asked the question (1966) on how close a unimodular polynomial come to satisfying $|P(z)| \approx \sqrt{n+1}$ if $n \ge 1$? In this paper we show that for a given $0 < a < b$ and $\eps > 0$ there exist trigonometric sums $\cP(t) = n^{-1/2} \sum_{j=0}^{n-1} \exp(2πi tω(j))$ with a real frequency function $ω(j)$ which are $\eps$-flat on segment $[a,b]$ acording to the norm in $L^1([a,b])$ (as well as in $L^2([a,b])$). We apply this method to construct a dynamical system having simple spectrum and Lebesgue spectral type in the class of rank-one flows.

研究の動機と目的

• d次元のR^d作用が単純なルベーグスペクトルをもつような系の存在に関するバナッハの問いを解決すること。
• スペクトル型がルベーグ測度であるランク1フローを構成すること。
• 区間[a,b]においてL^1およびL^2ノルムでε-平坦な三角和の存在を確立すること。
• 平坦な多項式技術をランク1動的系のスペクトル理論に応用すること。
• 構成されたフローがエルゴディックであり、ゼロにスペクトル原点を持たないことを確認すること。

提案手法

• 実周波数関数ω(j)を用いて、P(t) = n^{-1/2} ∑_{j=0}^{n-1} exp(2πi t ω(j)) と定義される三角和を構成し、[a,b]上でL^1およびL^2ノルムでε-平坦性を達成する。
• 動的系を定義するため、指数的階段状周波数関数ω_n(y) = m_n q_n / ε_n^2 (e^{ε_n y / q_n} - 1) を用いる。
• 平坦性補題（例：補題3.10）を適用し、|P_n(t)|^2 ≈ 1 が区間(a_n, b_n)上で成り立つことを示し、弱収束によりルベーグに類似した密度に収束することを示す。
• 一般化されたリエス積を用いて、スペクトル測度σ_f = |f̂|^2 · ∏_n |P_n(t)|^2 を表現する。
• ∑_n b_n (ln m_n)^{1/2} / m_n^{1/4} < ∞ を満たすようにパラメータm_n, q_n, ε_nに条件を課し、ルベーグスペクトル型への収束を保証する。
• エルゴディシティを確認することで、ゼロにスペクトル原点を持たないことを保証し、スペクトル測度が純粋にルベーグであることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純なスペクトルとルベーグスペクトル型をもつランク1フローを構成することは可能か？
• RQ2 任意の0 < a < bおよびε > 0に対して、区間[a,b]においてL^1およびL^2ノルムでε-平坦な三角和P(t) = n^{-1/2} ∑_{j=0}^{n-1} exp(2πi t ω(j)) が存在するか？
• RQ3 ランク1フローの文脈において、一般化されたリエス積を用いてルベーグ測度と等価なスペクトル測度を実現することは可能か？
• RQ4 パラメータm_n, q_n, ε_nにどのような条件を課すと、リエス積がルベーグに類似した密度に収束するか？
• RQ5 構成されたフローはエルゴディックのままであり、ゼロにスペクトル原点を持たないか？

主な発見

• 本稿は、単純なルベーグスペクトルをもつランク1フローを構成し、バナッハの問いに対する肯定的解答を提示する。
• 任意の0 < a < bおよびε > 0に対して、[a,b]上でL^1およびL^2ノルムの両方でε-平坦な三角和P(t)が存在する。
• 構成されたフローのスペクトル測度は、R上でルベーグ測度と等価であり、原点を持たない。エルゴディシティおよびリエス積の収束により、これが確認される。
• パラメータ制約m_n ≤ h_n^{1/2−α}, h_n^{1+α} ≤ q_n, および∑_n 1/m_n^{1/4−α} < ∞（0 < α < 1/4）の下で、収束条件∑_n b_n (ln m_n)^{1/2} / m_n^{1/4} < ∞ が満たされる。
• 周波数関数ω_n(y) = m_n q_n / ε_n^2 (e^{ε_n y / q_n} - 1) は、区間(a_n, b_n)上で|P_n(t)|^2 の必要な平坦性を保証する。
• スペクトル測度σ_fは、一般化されたリエス積∏_n |P_n(t)|^2 として与えられ、弱収束によりルベーグ測度に等価な密度f(t) ∏_n Q_n(t) に収束する。