[論文レビュー] On flow-equivalence of R-graph shifts

Wolfgang Krieger|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定のRグラフに対して、関連するRグラフシフトのフローエクイバリエンスが、それらの基礎となるRグラフの同型を意味することを確立している。性質(A)および関連する半群がフローエクイバリエンスのもとで不変であることを証明し、さらに構造的条件(a)–(d)が満たされる場合、この不変性がRグラフの同型を意味する。この結果は、コスタとシュタインバーグによるマーカフ＝ダイクシフトに関する先行研究を、より広いクラスのRグラフシフトへと拡張する。

ABSTRACT

We show that Property $(A)$ of subshifts and the semigroup, that is associated to subshifts with Property (A), are invariants of flow equivalence. We show for certain $\mathcal R$-graphs that their isomorphism is implied by the flow equivalence of their $\mathcal R$-graph shifts.

研究の動機と目的

• 部分シフトに対して、フローエクイバリエンスのもとで性質(A)および関連する半群が不変であることを確立すること。
• 条件(a)–(d)を満たすRグラフに対して、そのRグラフシフトのフローエクイバリエンスが、基礎となるRグラフの同型を意味することを証明すること。
• マーカフ＝ダイクシフトに関する先行結果を、より広いクラスのRグラフシフトへと拡張すること。
• Rグラフシフトの半群がRグラフの同型を決定する条件を特徴づけること。

提案手法

• 軌道および言語の不変性を用いて、記号拡張およびフローエクイバリエンスのもとで性質(A)の不変性を証明する。
• 軌道写像ξσを介して、性質(A)を有する部分シフトに付随する半群がフローエクイバリエンスのもとで不変であることを示す。
• Rグラフシフトを、E− ∪ E+における許容語に従って定義される部分シフトとして導入する。
• イデムポテンの生成元とR(q,r)関係を含む、生成元と関係式によって定義されるRグラフ半群SR(P, E−, E+)を用いる。
• [HK]の結果を適用し、条件(a)–(d)がRグラフシフトが性質(A)を有し、その関連半群がRグラフ半群であることを示す。
• フローエクイバリエンスおよび半群の不変性によって誘導されるRグラフ半群の同型を介して、Rグラフの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分シフトのフローエクイバリエンスのもとで、性質(A)は不変のままであるか？
• RQ2 性質(A)を有する部分シフトに付随する半群は、フローエクイバリエンスのもとで不変か？
• RQ3 Rグラフシフトのフローエクイバリエンスが基礎となるRグラフの同型を意味する条件は何か？
• RQ4 Rグラフ半群のフローエクイバリエンスにおける不変性を用いて、Rグラフの同型を導けるか？
• RQ5 Rグラフにどのような構造的条件を課すと、そのシフトのフローエクイバリエンスがRグラフの同型を意味するようになるか？

主な発見

• 性質(A)は、包含関係ξσ(Ω(An(X))) ⊂ Ω(A2n(X(σ)))およびその逆写像によって、フローエクイバリエンスのもとで不変であることが示された。
• 性質(A)を有する部分シフトに付随する半群は、フローエクイバリエンスのもとで不変であり、写像ξσが半群同型を誘導する。
• 条件(a)–(d)を満たすRグラフに対して、そのRグラフシフトのフローエクイバリエンスは、Rグラフの同型を意味する。
• 条件(a)–(d)は、Rグラフシフトが性質(A)を有することおよび、その関連半群がRグラフ半群であることの保証を提供する。
• この結果は、コスタとシュタインバーグによるマーカフ＝ダイクシフトに関する定理を、より広いクラスのRグラフシフトへと一般化する。
• K > 1のときのダイクシフトD2 × BKは、条件(a)–(d)を満たさないが、K群の不変性および半群構造のおかげで、結論は依然として成り立つ。