[論文レビュー] On Foundation of the Generalized Nambu Mechanics (Second Version)

Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、n ≥ 3 個の物理量に対して一般化されたネイビュー力学の基礎的な枠組みを確立する。Nambu括弧—Poisson括弧の高次一般化—を導入し、Nambu-ハミルトン方程式を定式化し、基本的恒等式を一貫性条件として証明する。また、Nambu-Poisson多様体を導入し、Poisson多様体よりも高い剛性を示す一方で、ループ運動を含む作用原理を開発し、量子化手法についても議論する。

ABSTRACT

We outline basic principles of canonical formalism for the Nambu mechanics—a generalization of Hamiltonian mechanics proposed by Yoichiro Nambu in 1973. It is based on the notion of Nambu bracket, which generalizes the Poisson bracket— a “binary” operation on classical observables on the phase space, to the “multiple” operation of higher order n ≥ 3. Nambu dynamics is described by the phase flow given by Nambu-Hamilton equations of motion—a system of ODE’s which involves n − 1 “Hamiltonians”. We introduce the fundamental identity for the Nambu bracket—a generalization of the Jacobi identity, as a consistency condition for the dynamics. We show that Nambu bracket structure defines an hierarchy of infinite families of “subordinated” structures of lower order, including Poisson bracket structure, which satisfy certain matching conditions. The notion of Nambu bracket enables to define Nambu-Poisson manifolds—phase spaces for the Nambu mechanics, which turn out to be more ‘rigid” than Poisson manifolds—phase spaces for the Hamiltonian mechanics. We introduce the analog of the action form and the action principle for the Nambu mechanics. In its formulation dynamics of loops (n −2-dimensional chains for the general n-ary case) naturally appears. We discuss several approaches to the quantization of

研究の動機と目的

• 2項のPoisson括弧を超えたNambu力学の正準的構造を形式化すること。
• n ≥ 3 個の物理量に対してNambu括弧の閉じ性を保証する一貫性条件としての基本的恒等式を特定すること。
• 一致条件を満たす場合、Nambu括弧構造がPoisson括弧を含む、低次の整合的構造の無限階層を生成することを示すこと。
• Nambu力学の位相空間としてのNambu-Poisson多様体を定義し、Poisson多様体と比較してその幾何的剛性を分析すること。
• 動的対象が(n−2)次元の鎖（ループ）として自然に現れるNambu力学の作用原理を構築すること。

提案手法

• 古典的物理量上のn重線形かつ反対称なn項演算としてNambu括弧を導入し、Poisson括弧の高次一般化を実現する。
• n−1個のハミルトニアンを含むNambu-ハミルトン運動方程式を導出し、位相空間の流れを記述する常微分方程式系を形成する。
• Nambu括弧の一貫性に不可欠な条件として、基本的恒等式を確立し、ヤコビ恒等式の一般化をなす。
• Nambu括弧が、整合性条件を満たすPoisson括弧を含む、下位の構造の階層を誘導することを示す。
• 滑らかな多様体にNambu括弧を備えたNambu-Poisson多様体を定義し、Poisson多様体よりも強い幾何的制約を示す。
• Nambu力学における作用形式および作用原理の類似物を提案し、動的対象が自然に(n−2)次元の鎖（ループ）として現れることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 3 に対して、Poisson括弧の高次一般化としてNambu括弧を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 Nambu力学の一貫性を保証する代数的恒等式は何か？これはヤコビ恒等式をどのように一般化するか？
• RQ3 Nambu-Poisson多様体は幾何学的にPoisson多様体とどのように異なり、どのような制約を課えるか？
• RQ4 Nambu括弧は、Poisson括弧を含む低次の構造の階層を、どのような方法で生成するか？
• RQ5 Nambu力学に対して変分原理をどのように定式化できるか？また、(n−2)次元の鎖はこの定式化において果たす役割は何か？

主な発見

• Nambu括弧はヤコビ恒等式を一般化した基本的恒等式を満たし、Nambu-ハミルトン運動方程式の一貫性を保証する。
• Nambu括弧構造は、一致条件を満たす場合、Poisson括弧を含む、低次の整合的構造の無限階層を誘導する。
• n項括弧が引き起こす強い制約のため、Nambu-Poisson多様体はPoisson多様体よりも幾何学的により高い剛性を示す。
• Nambu力学の作用原理は自然に(n−2)次元の鎖の運動を含み、古典的作用原理を拡張された物体に一般化する。
• この枠組みはNambu力学の量子化の基礎を提供するが、論文は量子化プログラムの完成に至っていない。