[論文レビュー] On fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

Terhi Kaarakka, Paavo Salminen|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、分数ブラウン運動（FBM）のドゥーブ変換の背後にある駆動ノイズを特定することにより、分数オーナイズ・ウーレンバック過程を調査している。$Y^{(1)}$ と表記されるこの過程は、線形に増大する分散を示し、スケーリングの下で弱収束的にブラウン運動に収束する。これにより、$Y^{(1)}$ をノイズとするランゲビン方程式を用いて、新たな短記憶依存性を示す分数オーナイズ・ウーレンバック過程が構成可能となる。

ABSTRACT

In this paper we study Doob's transform of fractional Brownian motion (FBM). It is well known that Doob's transform of standard Brownian motion is identical in law with the Ornstein-Uhlenbeck diffusion defined as the solution of the (stochastic) Langevin equation where the driving process is a Brownian motion. It is also known that Doob's transform of FBM and the process obtained from the Langevin equation with FBM as the driving process are different. However, also the first one of these can be described as a solution of a Langevin equation but now with some other driving process than FBM. We are mainly interested in the properties of this new driving process denoted Y^{(1)}. We also study the solution of the Langevin equation with Y^{(1)} as the driving process. Moreover, we show that the covariance of Y^{(1)} grows linearly; hence, in this respect Y^{(1)} is more like a standard Brownian motion than a FBM. In fact, it is proved that a properly scaled version of Y^{(1)} converges weakly to Brownian motion.

研究の動機と目的

• ドゥーブ変換の背後にある駆動過程 $Y^{(1)}$ を特定すること。これは、FBM を駆動源とするランゲビン過程とは異なる。
• $Y^{(1)}$ の共分散構造と依存構造を分析し、FBM が長記憶依存性を示すのに対し、$Y^{(1)}$ は短記憶依存性を示すことを示すこと。
• スケーリングパラメータを大きくする際、$Y^{(1)}$ のスケーリング版が標準ブラウン運動に弱収束することを確立すること。
• $Y^{(1)}$ をノイズとするランゲビン方程式を用いて、新たな分数オーナイズ・ウーレンバック過程を構築し、その共分散特性を分析すること。

提案手法

• 時間変換ブラウン運動と確率積分を用いて、FBM のドゥーブ変換から導かれるインノベーション過程 $Y^{(1)}$ を定義する。
• 核関数 $k_{\rho,H}$ を含む積分表現を用いて、$Y^{(1)}$ の共分散カーネルを導出し、分散の漸近的線形性を示す。
• ランゲビン方程式の定常解を、ランペルティ変換と時間反転を用いて表現する。
• 有限次元分布の収束とタイトネス基準を用いて、スケーリングされた $Y^{(1)}$ の弱収束を確立する。
• 二重積分表現と漸近的解析を用いて、得られた分数オーナイズ・ウーレンバック過程 $U^{(D,\rho)}$ の共分散を分析する。
• ベータ関数およびガンマ関数の恒等式を用いて、弱収束結果における極限分散定数 $\sigma(\alpha,H)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドゥーブ変換のFBMを生成する駆動過程 $Y^{(1)}$ の性質は何か？ また、FBM そのものとはどのように異なるか？
• RQ2 $Y^{(1)}$ は長記憶依存性か短記憶依存性を示すのか？ その共分散構造はどのようなものか？
• RQ3 $Y^{(1)}$ の適切にスケーリングされたバージョンは、標準ブラウン運動に弱収束するか？
• RQ4 $Y^{(1)}$ を駆動源とする分数オーナイズ・ウーレンバック過程の共分散特性は、FBM を駆動源とするものと比べてどう異なるか？
• RQ5 時間の経過に従って $Y^{(1)}$ の分散がどのように振る舞うか、極限的挙動は何か？

主な発見

• $Y^{(1)}$ の分散は時間とともに漸近的に線形に増大し、これはFBM よりもブラウン運動に近い挙動を示すことを示している。
• $Y^{(1)}$ の適切にスケーリングされたバージョン、すなわち ${Z}^{(a,\rho)}_{t} = \frac{1}{\sqrt{a}} Y^{(\rho)}_{at}$ は、$a \to \infty$ の下で、拡散係数 $\sigma = \sqrt{\kappa(\alpha,H)}$ のブラウン運動に弱収束する。
• $Y^{(1)}$ の共分散カーネルは明示的に導出され、可積分性が示され、弱収束結果を支持する。
• $Y^{(1)}$ を駆動源とする分数オーナイズ・ウーレンバック過程 $U^{(D,\rho)}$ は短記憶依存性を示し、共分散は指数関数的に減衰する。
• スケーリングされた過程 ${Z}^{(a,\rho)}$ の極限共分散は $\kappa(\alpha,H) \cdot \min(s,t)$ に収束し、これは $\sigma(\alpha,H)$ でスケーリングされたブラウン運動の共分散と一致する。
• 定数 $\sigma(\alpha,H)$ は、$\sigma(\alpha,H) = \sqrt{2 C(\alpha,H) \frac{H}{\alpha} \cdot {\rm Beta}(1-H, 2H-1)}$ として明示的に与えられ、ここで $C(\alpha,H)$ は正規化係数である。