[論文レビュー] On fractional smoothness and $L_p$-approximation on the Wiener space

Stefan Geiß, Anni Toivola|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実補間およびリーマン＝リウビル分数階積分を用いて定義されるガウス型ベゾフ空間における分数階滑らかさと、ウィener空間上での汎関数の熱拡張の正則性との間の関係を確立する。この枠組みを用いて、$d$次元の幾何的ブラウン運動に関する確率積分の$L_p$近似（$2 \leq p < \infty$）を分析し、近似誤差の新たな正則性評価を得る。

ABSTRACT

We consider Gaussian Besov spaces obtained by real interpolation and Riemann-Liouville operators of fractional integration on the Gaussian space and relate the fractional smoothness of a functional to the regularity of its heat extension. The results are applied to study an approximation problem in $L_p$ for $2\le p<\infty$ for stochastic integrals with respect to the $d$-dimensional (geometric) Brownian motion.

研究の動機と目的

• ガウス型ベゾフ空間における分数階滑らかさを、実補間およびリーマン＝リウビル分数階積分作用素を用いて特徴付けること。
• ウィナー空間上での汎関数の滑らかさと、それに対応する熱拡張の正則性との関係を明らかにすること。
• 滑らかさと正則性の対応関係を応用し、$2 \leq p < \infty$ における確率積分の$L_p$近似を検討すること。

提案手法

• $L_p$空間間の実補間を用いて、ウィナー空間上でのガウス型ベゾフ空間を定義する。
• 分数階積分作用素（リーマン＝リウビル作用素）を適用し、汎関数の分数階滑らかさを表現する。
• 汎関数の熱拡張を分析することで、滑らかさの性質と空間的正則性を結びつける。
• ベゾフノルムと熱拡張のソボレフ型正則性を結ぶ埋め込み定理を確立する。
• 得られた正則性評価を応用し、確率積分の$L_p$ノルムにおける近似誤差を評価する。
• 確率積分の基礎となる確率空間として、$d$次元の幾何的ブラウン運動を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィナー空間上でのリーマン＝リウビル分数階積分を用いて、ガウス型ベゾフ空間における分数階滑らかさをどのように特徴付けることができるか？
• RQ2 汎関数の滑らかさと、その熱拡張の正則性との間にどのような関係があるか？
• RQ3 汎関数の滑らかさは、$2 \leq p < \infty$ における確率積分の$L_p$近似誤差にどのように影響するか？
• RQ4 汎関数の熱拡張を用いて、$L_p$ノルムにおける近似誤差の定量的評価を得ることは可能か？
• RQ5 実補間は、ウィナー空間上での確率積分に関連する滑らかさクラスを定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ガウス型ベゾフ空間における分数階滑らかさは、実補間およびリーマン＝リウビル作用素を通じて特徴付けられ、汎関数の滑らかさと熱拡張の解析的性質を結びつける。
• 汎関数の熱拡張は、その分数階滑らかさに起因する正則性を引き継ぎ、ウィナー空間の文脈でソボレフ型推定式の適用が可能になる。
• $2 \leq p < \infty$ に対して、確率積分の$L_p$近似誤差は、被積分関数のベゾフノルムによって制御され、関数の滑らかさが反映される。
• 本フレームワークにより、幾何的ブラウン運動によって駆動される確率過程の$L_p$ノルムにおける近似誤差を推定するための新たな解析的ツールが提供される。
• 本研究の結果は、古典的近似理論を確率的文脈へ拡張し、ウィナー空間上での滑らかさと正則性の対応関係を導入する。