[論文レビュー] On freeness of divisors on $\mathbb P^2$

Ştefan Tohǎneanu|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、イデアル $I$ に作用する正則列をなす非自明なシンジーキーが存在するかどうかに依存して、$ℝ^2$ 内の準同次的除数の自由性を特徴づける基準を確立する。具体的には、商環 $ℂ[x,y,z]/I$ が算術的に Cohen-Macaulay であることと、除数が自由であることとは同値であり、その条件は $I$ に正則列をなすシンジーキーが存在することに帰着される。この結果は、特に既約曲線のヤコビアンイデアルに適用可能であり、シンジーキーの次数を用いた自由性の計算的判定法を提供するとともに、自由な線形配置のヤコビアンスキームの次数に関する上限を導く。

ABSTRACT

Let $I\subset \mathbb C[x,y,z]$ be an ideal of height 2 and minimally generated by three homogeneous polynomials of the same degree. If $I$ is a locally complete intersection we give a criterion for $\mathbb C[x,y,z]/I$ to be arithmetically Cohen-Macaulay. Since the setup above is most commonly used when $I=J_F$ is the Jacobian ideal of the defining polynomial of a "quasihomogeneous" reduced curve $Y=V(F)$ in $\mathbb P^2$, our main result becomes a criterion for freeness of such divisors. As an application we give an upper bound for the degree of the reduced Jacobian scheme when $Y$ is a free rank 3 central essential arrangement, as well as we investigate the connections between the first syzygies on $J_F$, and the generators of $\sqrt{J_F}$.

研究の動機と目的

• $ℝ^2$ 内で準同次的多項式によって定義される既約除数の自由性に関する基準を提供すること。
• 高さ2、局所的完遂交差イデアル $I$ で、同次多項式3つが等しい次数を持つ最小生成系をもつ場合に、商環 $ℂ[x,y,z]/I$ が算術的に Cohen-Macaulay である条件を同定すること。
• 自由な超平面配置（特に線形配置）に対して、ヤコビアンイデアルのシンジーキー次数とその還元ヤコビアンスキームの次数を結びつけることで、基準を応用すること。
• ヤコビアンイデアルの最初のシンジーキーの次数と、その根基の生成元の次数との関係を調査すること。

提案手法

• ℂ[x,y,z] 内で同じ次数の同次多項式3つによって生成されるイデアルの構造を解析するため、ヒルベルト＝バーチの定理を用いる。
• イデアルに正則列をなすシンジーキーが存在する場合に算術的に Cohen-Macaulay であることを示す、アイゼンシュタインとフンエケの結果を応用する。
• ヤコビアンイデアルのシンジーキーが正則列をなすかどうかのチェックに帰着することで、自由性問題を解消する。
• 高さ2のイデアルに対しては、線形型性（局所的完遂交差と同値）が保証されるため、分解解析に適した性質を持つことを確認する。
• 自由配置の構造とシンジーキーの次数を用いて、$ℂ(\sqrt{J_F})$ の次数に関する上限を計算する。
• 例と反例の構成により、上限の鋭さと仮定の必要性を検証する。特に例 2.4 は、高次元ではこの基準が成立しないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ2、局所的完遂交差イデアル $I$ で、同次多項式3つが等しい次数を持つ最小生成系をもつ場合に、商環 $ℂ[x,y,z]/I$ が算術的に Cohen-Macaulay であるのはいつか？
• RQ2 ヤコビアンイデアル $J_F$ のシンジーキーにどのような条件が課されると、$\mathbb{P}^2$ 内の曲線 $V(F) \subset \mathbb{P}^2$ が自由になるか？
• RQ3 自由な線形配置の還元ヤコビアンスキームの次数は、シンジーキーの次数で上から抑えられるか？
• RQ4 滑らかな曲線の横断的配置に対して、$J_F$ の最初のシンジーキーの次数と $\sqrt{J_F}$ の生成元の次数の関係は何か？
• RQ5 自由配置で指数が $\{1,a,b\}$ である場合に、上限 $\deg(\sqrt{J_F}) \leq b^2 + b + 1$ は鋭いか？また、これを改善できるか？

主な発見

• 環 $\u2102[x,y,z]/I$ が算術的に Cohen-Macaulay であることは、$I$ に正則列をなすシンジーキーが存在することと同値である。
• ペンダント＋一般線型ではない $n$ 条の直線からなる自由な線形配置 $\mathcal{A}$ に対して、$\deg(\sqrt{J_Q}) \leq (n-3)^2 + (n-3) + 1 = n^2 - 5n + 7$ が成り立ち、$\deg(\sqrt{J_Q}) \geq n^2 - 5n + 8$ ならば $\mathcal{A}$ は自由でない。
• 指数 $\{1,a,b\}$、$a \leq b$ の自由配置に対して、$\deg(\sqrt{J_F}) \leq b^2 + b + 1$ が成り立ち、この上限は一部のケースで鋭い。
• 滑らかな曲線の横断的配置に対して、$\alpha(\sqrt{J_F}) \leq \beta(J_F) + 1$ が成り立ち、例 3.4 でこの上限が達成される。
• 自由除数 $Y = V(F)$ の還元ヤコビアンスキームは、$\{ (A_1,B_1,C_1), (A_2,B_2,C_2) \}$ が最初のシンジーキー加群の基底であるとき、$V(J_F) = V(I^{(A_1,B_1,C_1)}) \cap V(I^{(A_2,B_2,C_2)})$ を満たす。
• 例 3.4 は、$\beta(J_Q) = 2$ かつ $\alpha(\sqrt{J_Q}) = 3$ である例を示しており、$\alpha(\sqrt{J_F}) \leq \beta(J_F) + 1$ の上限が鋭いことを確認している。