[論文レビュー] On full history recursive multilevel Picard approximations and numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations

E Weinan, Martin Hutzenthaler+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、高次元非線形放物型PDEおよびBSDEに対して、多層モンテカルロとピカード固定点反復を組み合わせた、完全履歴再帰的多層ピカード（FHRMLP）近似を導入する。計算コストが次元に対して線形に、逆精度に対して四次的に増加することを証明し、任意の $ \delta > 0 $ に対して $ O(d\epsilon^{-(4+\delta)}) $ の複雑度を達成する。100次元問題における数値的妥当性が確認されている。

ABSTRACT

Parabolic partial differential equations (PDEs) and backward stochastic differential equations (BSDEs) are key ingredients in a number of models in physics and financial engineering. In particular, parabolic PDEs and BSDEs are fundamental tools in the state-of-the-art pricing and hedging of financial derivatives. The PDEs and BSDEs appearing in such applications are often high-dimensional and nonlinear. Since explicit solutions of such PDEs and BSDEs are typically not available, it is a very active topic of research to solve such PDEs and BSDEs approximately. In this paper we introduce a family of new approximation methods for high-dimensional PDEs and BSDEs. A key idea of our methods is to combine multilevel approximations with Picard fixed-point approximations. Thereby we obtain a class of full history recursive multilevel Picard approximations. Our error analysis proves for one of the proposed approximation methods that if $\epsilon\in(0,\infty)$ is the prescribed approximation accuracy and if $d\in\mathbb{N}$ is the dimension of the considered PDE, then for every $\delta \in (0,\infty)$ it holds that the computational effort of the approximation method (number of function evaluations of the coefficient functions of the considered PDE and number of used independent scalar standard normal random variables) is at most $O(d\,\epsilon^{-(4+\delta)})$, that is, the computational effort grows only linearly in the dimension and up to an arbitrarily small order quartically in the reciprocal of the prescribed approximation accuracy. We illustrate the efficiency of one of the proposed approximation methods by means of numerical simulations presenting approximation accuracy against runtime for several nonlinear PDEs from physics (such as the Allen-Cahn equation) and financial engineering (such as derivative pricing incorporating default risks) in the case of $d=100$ space dimensions.

研究の動機と目的

• 金融工学および物理学に現れる高次元非線形放物型PDEおよびBSDEを解く課題に対処すること。
• このような方程式の数値近似における次元の呪いを克服すること。
• 過去の反復の完全な履歴を再帰的に使用する新しい多層ピカード近似のクラスを開発すること。
• 計算コストが次元に対して線形に、逆精度に対して多項式的に増加することを示す厳密な誤差境界を確立すること。
• アレン＝カーン方程式やデフォルトリスク価格設定の実世界方程式を対象とした100次元設定における数値シミュレーションを通じて、手法の効率性を示すこと。

提案手法

• 高次元PDEおよびBSDEのための完全履歴再帰的多層ピカード（FHRMLP）近似の族を提案する。
• 分散低減と収束改善のため、多層モンテカルロ技術とピカード反復を統合する。
• 全過去の反復に依存する再帰的構造を用いて、各レベルにおける近似精度を向上させる。
• 経路ごとの定式化と期待値ベースの定式化を用いて、決定的PDEおよび確率的BSDEの両方へ適用する。
• 各レベルが独立な確率的サンプルを用いて前回のレベルを精緻化する近似の階層を構築する。
• 関数評価回数および標準正規乱数の使用回数を数えることで、計算複雑度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多層ピカード手法を完全履歴再帰に拡張することで、高次元PDEにおける収束性が向上するか？
• RQ2 次元および精度の観点から、完全履歴再帰的多層ピカード近似の計算複雑度はいかほどか？
• RQ3 本手法は、物理学および金融工学分野の高次元非線形PDEにおいて、数値的にどの程度の性能を示すか？
• RQ4 本手法は、次元に対して線形、逆精度に対して多項式的に増加する計算コストを達成するか？
• RQ5 本手法は、アレン＝カーン方程式やデフォルトリスクモデルといった実世界の非線形性と高次元性を有する方程式を処理できるか？

主な発見

• 1つのFHRMLP手法の計算コストは、任意の $ \delta > 0 $ に対して $ O(d\epsilon^{-(4+\delta)}) $ で有界であり、次元に対して線形、逆精度に対してほぼ四次的増加であることを証明する。
• 本手法は、100次元を含む高次元問題においても、精度を維持したままこの複雑度を達成する。
• 数値的シミュレーションにより、本手法の効率性が確認され、100次元非線形PDEにおける精度と実行時間の良好なトレードオフが示された。
• 本手法は、アレン＝カーン方程式のような非線形PDEおよび金融工学におけるデフォルトリスク付きBSDEを効果的に処理できた。
• 誤差解析により、高次元および非線形な設定下でも安定性が確認され、次元に指数関数的依存がないことが示された。
• 100次元シミュレーションにおける精度対実行時間の曲線から、スケーラビリティの観点で標準的手法を上回ることが実証された。