[論文レビュー] On fully mixed and multidimensional extensions of the Caputo and Riemann-Liouville derivatives, related Markov processes and fractional differential equations

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 45被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、境界で中断されるLévy過程の生成子として解釈する確率的枠組みを通じて、CaputoおよびRiemann-Liouvilleの分数階微分の完全に混合的かつ多次元的拡張を導入する。境界で遮断されるマルコフ過程を用いた確率的解析により、関連する分数階微分方程式の適切性（well-posedness）を確立し、1次元および多次元設定においてβ ≤ 1の分数階微分方程式に対して明示的な解を提供する。

ABSTRACT

From the point of view of stochastic analysis the Caputo and Riemann-Liouville derivatives of order $\al \in (0,2)$ can be viewed as (regularized) generators of stable L\'evy motions interrupted on crossing a boundary. This interpretation naturally suggests fully mixed, two-sided or even multidimensional generalizations of these derivatives, as well as a probabilistic approach to the analysis of the related equations. These extensions are introduced and some well-posedness results are obtained that generalize, simplify and unify lots of known facts. This probabilistic analysis leads one to study a class of Markov processes that can be constructed from any given Markov process in $\R^d$ by blocking (or interrupting) the jumps that attempt to cross certain closed set of 'check-points'.

研究の動機と目的

• 確率的解釈に基づく完全に混合的かつ多次元的拡張を用いて、古典的分数階微分を一般化すること。
• 確率的解析を用いて、既知の分数階微分方程式に関する結果を統一的かつ簡略化すること。
• 境界で中断されるマルコフ過程を通じて、分数階方程式の適切性に関する厳密な枠組みを構築すること。
• 微分の順序β ≤ 1を含む方程式に対して明示的解を確立すること。
• R^dにおける閉集合のチェックポイントを越えるジャンプを遮断することで構築されるマルコフ過程の理論を提唱すること。

提案手法

• α ∈ (0,2) の順序のCaputoおよびRiemann-Liouville微分を、境界を越えた際に中断される安定Lévy運動の正則化生成子として解釈する。
• 閉集合のチェックポイントを越えるジャンプを遮断するマルコフ過程のクラスをR^dに導入し、境界中断ダイナミクスを一般化する。
• Dynkinのマルティンゲール公式およびFeller過程理論を用いて、境界値問題の適切性結果を導出する。
• AおよびÂ[a,b]という演算子に確率的微積分を適用し、ν(x,y)をジャンプ密度とし、モーメントおよび正則性条件を満たす。
• 部分積分を用いて、分数階微分の等価な積分表現を導出し、解析的表現と確率的表現を結びつける。
• νおよび境界からの抜ける確率に関する滑らかさと単調性の仮定の下で、λ = 0のための一般解および古典解の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的原理を用いて、CaputoおよびRiemann-Liouville微分を自然に完全に混合的、両側的、または多次元的設定に拡張する方法は何か？
• RQ2 境界の中断が、一般化された分数階微分およびそれに関連する確率過程の定義において果たす役割は何か？
• RQ3 ジャンプが中断されるLévy過程を表す演算子が、一意的なFeller過程を生成するための条件は何か？
• RQ4 β ≤ 1の分数階微分方程式の解は、中断された過程の抜ける分布および遷移核とどのように関係するか？
• RQ5 これらの拡張された微分を含む境界値問題に対して、明示的解を導出できるか？

主な発見

• β ∈ (0,1) のとき、Caputo微分 Dβ_{a+}⋆f(x) は f − f(a) のRiemann-Liouville微分に等しく、f(a)/(Γ(1−β)(x−a)^β) を含む境界補正項の差異を示す。
• β ∈ (1,2) のとき、Caputo微分には2次微分の正則化項が含まれ、Dβ_{a+}⋆f(x) = Dβ_{a+}[f − f(a) − f′(a)(·−a)](x) から境界補正項を差し引いた形となる。
• a = −∞ で f が滑らかで有界かつ可積分であるとき、右側分数階微分 dβ/dxβ f(x) は Dβ_{−∞+}f(x) および Dβ_{−∞+}⋆f(x) の共通値に等しく、f(x−z)−f(x) または f(x−z)−f(x)+f′(x)z を含む積分で与えられる。
• ν(x,y) に関する正則性および単調性条件の下で、[a,b] 上で定義された演算子 Â[a,b] はFeller過程を生成し、関連SDEの一意的強い解を保証する。
• Xx(τ) ≤ a および Xx(τ) ≥ b の抜ける確率がC²[a,b]に属し、核 H(x,dy) が弱微分可能であると仮定すると、式 (91) は λ = 0 の境界値問題の唯一の古典解を供給する。
• 古典的解の正則性が保証されない場合でも、式 (91) は λ = 0 の問題に対して一意の一般解を提供し、この手法の適用範囲を拡張する。