[論文レビュー] On fully nonlinear elliptic and parabolic equations in domains with VMO coefficients

Xu Li, Krylov, N. V.+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有界領域におけるVMO（消失平均振動）係数をもつ完全非線形放物型・楕円型方程式の可解性を、$W^{1,2}_p$ および $W^2_p$ ソボレフ空間を用いて確立する。係数の正則性仮定を最小限に抑え、存在・一意性および事前推定を証明し、ベルマン型構造および低次の項における非線形性へも結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove the solvability in Sobolev spaces $W^{1,2}_p$, $p>d+1$, of the terminal-boundary value problem for a class of fully nonlinear parabolic equations, including parabolic Bellman's equations, in bounded cylindrical domains with VMO ``coefficients''. The solvability in $W^{2}_p$, $p>d$, of the corresponding elliptic boundary-value problem is also obtained.

研究の動機と目的

• 有界な円柱領域におけるVMO係数をもつ完全非線形放物型方程式の可解性を確立すること。
• 主係数が消失平均振動を満たす場合、これは Hölder 連続性や Dini 連続性よりも弱い正則性条件であるが、完全非線形方程式の理論をそのような場合へ拡張すること。
• 適切な境界および終端条件の下で、$p > d+1$ の $W^{1,2}_p$ 空間および $p > d$ の $W^2_p$ 空間における解の存在および一意性を証明すること。
• 係数が滑らかでなくても、VMO 条件を満たし、その半ノルムが十分に小さい限り、可解性理論が成立することを示すこと。
• VMO 構造に依存する小刻みな係数の摂動に対しても、事前推定および存在結果が安定することを示すこと。

提案手法

• 条件 (H1) および (H2) の下で得られる事前推定の使用：低次の項における非線形性の凸性およびリプシッツ連続性を仮定する。
• 係数の凍結法の適用：各点において、空間時間に依存しない定数行列場（(H1) を満たす）で係数を近似し、誤差を VMO 半ノルムで制御する。
• 境界の平坦化に $C^{1,1}$ 微分同相を用い、分区画を用いて問題を半空間および全空間モデルに局所化する。
• 半空間および全空間における線形化方程式の最大 $L_p$-正則性推定の使用：カルデロン＝ジミン作用素および最大関数の理論に基づく。
• 補間不等式を用いて $Du$ を $D^2u$ および $u$ で制御し、小さな VMO パrameter の下で事前推定の閉じることを可能にする。
• バリア関数および放物型アレクサンドロフ推定を用いて、解の $L_p$-ノルムを制御し、事前推定における定数が時間区間 $T$ に依存しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VMO 係数をもつ完全非線形放物型方程式は、$p > d+1$ のソボレフ空間 $W^{1,2}_p$ で解けるか？
• RQ2 ベルマン方程式などの低次の項に非線形性をもつ方程式に対しても、VMO 条件の下で可解性理論は拡張可能か？
• RQ3 VMO 仮定の下で、事前推定を時間区間 $T$ に依存しない形にできるか？
• RQ4 非線形性の全関数 $F + G$ に対する凸性条件 (H3) は可解性に必要か、それとも取り除けるか？
• RQ5 解のノルムが VMO 半ノルムおよび $K$, $\delta$, 領域の幾何構造などの他のパrameter にどのように依存するかが最適か？

主な発見

• 終端境界値問題は、$W^{1,2}_p(\mathcal{D}_T)$ において $p > d+1$ で一意に可解であり、$\theta$ が $d$, $p$, $\delta$, $\partial\mathcal{D}$ の $C^{1,1}$ ノルムに依存する十分に小さい場合に限る。
• 事前推定 $\|u\|_{W^{1,2}_p(\mathcal{D}_T)} \leq N\|\bar{G}\|_{L_p(\mathcal{D}_T)} + N\|g\|_{W^{1,2}_p(\mathcal{D}_T)} + N_0$ が成り立ち、$N$ は $T$ に依存せず、$N_0$ は $\chi$, $T$, 領域にのみ依存する。
• 楕円型方程式に関しては、同じ VMO 条件の下で、境界値問題は $W^2_p(\mathcal{D})$ において $p > d$ で可解である。
• 事前推定における定数 $N$ は、$d$, $p$, $\delta$, $K$, $R_0$, $\partial\mathcal{D}$ の $C^{1,1}$ ノルム、および $\text{diam}(\mathcal{D})$ のみに依存する。$\chi \equiv 0$ の場合は $N_0 = 0$ である。
• 証明により、$F + G$ が $u''$ に関して凸であるという条件 (H3) は事前推定には不要であることが示され、存在証明では用いられるが、取り除ける可能性がある。
• この手法により、係数が滑らかでなくても、VMO に属する限り、事前推定および連続性の方法を用いて解を構成可能である。