[論文レビュー] On Function Theory in Quantum Disc: Integral Representations

D. Shklyarov, S. Sinel’shchikov+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、積分表現と変形量子化を用いて、量子円板における非可換関数論を展開する。非可換なプランシュレル測度の類似を導入し、分布の空間に同値な位相を確立し、q双微分作用素を用いた関数代数の形式的変形を構成することで、ベレジン法を量子同次空間へと拡張する。

ABSTRACT

The present work considers one of the simplest homogeneous spaces of the quantum group SU(1,1), the q-analogue of the unit disc in ${\Bbb C}$. We state without proofs q-analogues of Cauchy-Green formulae, integral representations of eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator, Green functions for Poisson equation and an inversion formula for Fourier transform. It is also demonstrated that the two-parameter quantization of the disc introduced before by S. Klimec and A. Lesniewski, can be derived via an application of the method of F. Berezin.

研究の動機と目的

• 量子同次空間の基本的例たる量子円板における、複素関数論の非可換類似を構築すること。
• 量子円板上の関数に対して、積分表現と非可換プランシュレル測度を確立すること。
• q双微分作用素を用いた、量子円板上の関数代数の形式的変形量子化を提供すること。
• ベレジン法と古典的解析手法のq類似を用いて、量子円板の結果を量子有界対称領域へと拡張すること。

提案手法

• 0 < q < 1 であるとき、z と z^* によって生成される *-代数 $\mathrm{Pol}(\mathbb{C})_q$ と関係式 $z^*z = q^2 z z^* + 1 - q^2$ を用いて、量子円板をモデル化する。
• 行列要素と関数評価の連続性を保証するため、三つの同値な位相 $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$, $\mathcal{T}_3$ による $\mathrm{Pol}(\mathbb{C})_q$ の完備化として、分布空間 $D(U)_q'$ を定義する。
• フォック表現において有限個の非ゼロ行列成分を持つ関数を、量子円板上の有限関数と定義し、空間 $D(U)_q$ を形成する。
• 関連する行列の積のトレースを用いて、$D(U)_q' \times D(U)_q \to \mathbb{C}$ の非退化な双対性を定義し、$D(U)_q$ に *-代数構造を導入する。
• ベレジン法を適用し、q双微分作用素 $C_k$ を用いて $D(U)_q$ の積の形式的変形を導出し、$D(U)_q[[t]]$ 上にスター積 $*$ を得る。
• 境界積分 $\int_{\partial U} \psi = \int_U \overline{\partial}\psi$ を用いて、特定の (1,0)-形式に対して $q$-類似のグリーンの公式を確立し、特定の条件下で積分が消えることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子円板における非可換プランシュレル測度の類似は何か？
• RQ2 量子円板の非可換設定において、関数の積分表現はどのように一般化できるか？
• RQ3 量子円板上の分布空間の構造は何か？ また、この空間上の異なる位相どうしの関係は？
• RQ4 q双微分作用素を用いて、量子円板上の関数代数の形式的変形量子化を構成できるか？
• RQ5 q-類似のグリーンの公式は、量子円板上の微分形式の境界挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 空間 $\mathrm{Pol}(\mathbb{C})_q$ 上の三つの位相 $\mathcal{T}_1$, $\mathcal{T}_2$, $\mathcal{T}_3$ は同値であり、分布空間 $D(U)_q'$ への完備化が一意に定まる。
• $D(U)_q$ の有限関数空間は、$q^{2\mathbb{Z}_+}$ に値をとる係数を持つ $z$, $z^*$, $y = 1 - zz^*$ の形式的級数の空間と同型であり、トレース双対性により *-代数構造を備える。
• 非退化な双対性 $D(U)_q' \times D(U)_q \to \mathbb{C}$ が $\langle f_1, f_2 \rangle = \mathrm{tr}\, T(f_1)T(f_2)$ で定義され、$D(U)_q$ に双対性と代数的構造をもたらす。
• q双微分作用素 $C_k$ は明示的に構成され、$D(U)_q \times D(U)_q$ 上に連続に拡張可能であり、$f_1 * f_2 = \sum_{k=0}^\infty t^k C_k(f_1, f_2)$ を通じて積の形式的変形をもたらす。
• 形式的スター積 $*$ は、基礎となる作用素代数の結合性により結合的であり、$*$-代数構造と整合的である。
• q-類似のグリーンの公式 $\int_U \overline{\partial}\psi = \int_{\partial U} \psi$ が成立し、(1,0)-形式 $\psi$ に対して成り立ち、$\psi = dz \cdot z^*$ または $\psi_{-1}(0)$ が消える条件を満たすとき $\int_U \overline{\partial}\psi = 0$ となる。