[論文レビュー] On Functional CLT for Reversible Markov Chains with nonlinear growth of the Variance

Martial Longla, Costel Peligrad+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、$h$ がゆっくり変化する関数であるとき、部分和の分散が $nh(n)$ として非線形に増加する reversible なマルコフ連鎖における関数中心極限定理（functional CLT）の十分条件を確立する。著者らは、新規の前向き・後向きマルティンゲール分解と最大不等式を用いて、正規化された部分和の分布収束が弱収束によってブラウン運動に一致することを証明し、線形分散増加を越えた古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the functional central limit theorem for stationary Markov chains with self-adjoint operator and general state space. We investigate the case when the variance of the partial sum is not asymptotically linear in n; and establish that conditional convergence in distribution of partial sums implies functional CLT. The main tools are maximal inequalities that are further exploited to derive conditions for tightness and convergence to the Brownian motion.

研究の動機と目的

• 部分和の分散が $nh(n)$ として非線形に増加する reversible なマルコフ連鎖における関数中心極限定理を拡張すること。
• 正規化された部分和の条件付き分布収束が弱収束によってブラウン運動に一致するための条件を確立すること。
• 非線形分散増加に対応するため、三角形構造を持つ前向き・後向きマルティンゲール分解に基づく新しい最大不等式を開発すること。
• 標準的な線形分散仮定を超えて、関数中心極限定理を保証する元のマルコフ連鎖列に対する十分条件を提供すること。
• ゆっくり変化する分散を有する reversible な過程における、条件付き CLT および関数中心極限定理の先行結果を一般化すること。

提案手法

• 部分和 $S_n$ をマルティンゲールと剰余項の和として表すために、前向き・後向きマルティンゲール分解を用いる。
• 前向き・後向き分解の三角形構造に基づいて、剰余項を制御する新しい最大不等式を導出する。
• 緊密性基準を適用して、正規化された過程 $S_{[nt]}/\text{std}(S_n)$ がブラウン運動に弱収束することを示す。
• reversible な連鎖において $\sigma_n^2 = nh(n)$ と $\|\mathbb{E}_0(S_n)\|_2 = o(\sigma_n)$ が同値であることを用いて、解析を簡略化する。
• 安定分布の吸引域の理論および重尾を持つ i.i.d. 列の極限定理を応用して、例を構成する。
• 連鎖の再生構造を活用して和を分解し、正規化における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分和の分散が $h$ がゆっくり変化する関数であるとき $nh(n)$ として非線形に増加する reversible なマルコフ連鎖において、関数中心極限定理が成り立つ条件は何か？
• RQ2 このような連鎖において、正規化された部分和の条件付き分布収束が関数的枠組みで弱収束によってブラウン運動に一致するか？
• RQ3 非線形分散増加下で、前向き・後向きマルティンゲール分解における剰余項を制御するために必要な新しい最大不等式は何か？
• RQ4 前向き・後向きマルティンゲール分解をどのように用いることで、関数中心極限定理枠組みにおける緊密性および収束結果を導出できるか？
• RQ5 本結果が、分散がゆっくり変化するメトロポリス・ハスティングス法などの特定モデルに与える影響は何か？

主な発見

• $\sigma_n^2 = nh(n)$ かつ $h$ がゆっくり変化する reversible なマルコフ連鎖に対して、$S_n / \sigma_n$ の条件付き分布収束が関数中心極限定理を意味する。
• 条件 $\|\mathbb{E}_0(S_n)\|_2 = o(\sigma_n)$ が満たされれば関数中心極限定理が成立し、これは $\sigma_n^2 = nh(n)$ と同値である。
• 著者らは $S_n / b_n \Rightarrow N(0,1)$ かつ $b_n^2 \sim 2n \ln n$ を示しており、$\sigma_n$ による正規化が分散 $1/2$ の非標準正規極限を与えることを示している。
• 本稿では $W_n(t) \Rightarrow 2^{-1/2} W(t)$ を証明しており、$W_n(t)$ は正規化された過程、$W(t)$ は標準ブラウン運動を表す。
• 本手法により、古典的な線形分散ケースを超えて関数中心極限定理を拡張でき、メトロポリス・ハスティングス法のような重い尾を持つ増分を有するモデルに適用可能なフレームワークを提供する。
• 例として $\sigma_n^2 \sim 2n \ln n$ となる場合を構成し、正規化された和が分散 $1/2$ の正規分布に収束することを確認しており、理論的結果を裏付けている。