[論文レビュー] On functions taking only prime values

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多項式列におけるモジュラスの相異なる性質に基づく、素数のみを生成する新しい数論的関数を導入する。式 $2k(k-1) \mod m$ の値がすべて相異なる最小のモジュラス $m$ が、$2n-2$ よりも大きい最小の素数に一致することを証明し、2次および1次形式に対するモジュラス算術的制約によって素数が新たに特徴付けられることを示す。

ABSTRACT

For n=1,2,3,... define S(n) as the smallest integer m>1 such that those 2k(k-1) mod m for k=1,...,n are pairwise distinct; we show that S(n) is the least prime greater than 2n-2 and hence the value set of the function S(n) is exactly the set of all prime numbers. For every n=4,5,... we prove that the least prime p>3n with 3|p-1 is just the least positive integer m such that 18k(3k-1) (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m. For d=4,6,12 and n=3,4,...., we prove that the least prime p>2n-2 with p=-1 (mod d) is the smallest integer m such that those (2k-1)^d for k=1,...,n are pairwise distinct modulo m. We also pose several challenging conjectures on primes. For example, we find a surprising recurrence for primes, namely, for every n=10,11,... the (n+1)-th prime p_{n+1} is just the least positive integer m such that 2s_k^2 (k=1,...,n) are pairwise distinct modulo m where s_k = sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}p_j. We also conjecture that for any positive integer m there are consecutive primes p_k,...,p_n (k

研究の動機と目的

• モジュラス的相異なる性質を用いて、出力が素数に限定される数論的関数を構築すること。
• 列 $\binom{2k}{k}$、$k!$、$k(k-1)$、または $2k(k-1)$ がモジュラス $m$ で互いに相異なるようにする最小の $m > 1$ を特徴付け、これが常に素数であることを示すこと。
• 特定の多項式 $f$ に対して、$D_f(n)$ の先行研究を拡張し、$n$ 個の相異なる値をモジュラス $m$ で与える最小の $m$ が素数または素数の累乗であることを証明すること。
• 線形再帰列および原始根と素数出力の関係を、最小の相異なる性質を持つモジュラスを用いて関連付ける仮説を提示し、それを裏付けること。

提案手法

• $S(n)$ を、$k = 1, \dots, n$ に対して $2k(k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m > 1$ として定義し、$S(n)$ が $2n-2$ よりも大きい最小の素数に等しいことを証明する。
• $T(n)$ を、$k = 1, \dots, n$ に対して $k(k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m > 1$ として定義し、$T(n) = \min\{m \geq 2n-1 : m \text{ は素数または } 2 \text{ の累乗} \}$ であることを証明する。
• 二次剰余、リーマン記号、および再帰列（例：ルカス列）の性質を用いて、$m$ を法とする相異なる性質を分析し、それらを素数性に関連付ける。
• $f(k) = k(dk - 1)$ の場合、$n$ 個の相異なる値をモジュラス $m$ で与える最小の $m$ が、$d \in \{2,3\}$ に対して $n$ 以上で最小の $d$ の累乗、すなわち $d^{\lceil \log_d n \rceil}$ に等しいことを証明する。
• オイラー数 $E_{2k}$ を含む列を分析し、$E_{2k} \mod m$ が相異なる最小のモジュラスが、2の累乗または素数の平方であることを示し、まれな例外を除いて成立することを示す。
• シュテルンの合同式およびルカス列の性質を用いて、$v_k(A,1) \mod m$ が相異なる条件を導出し、最小のモジュラスの素数性に関する仮説を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式列の値がモジュラス $m$ で相異なるようにする最小の $m$ を根拠とする関数は、常に素数を出力するか？
• RQ2 $2k(k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m > 1$ は常に素数であるか？ もしそうなら、どの素数か？
• RQ3 $k(k-1) \mod m$ のような列に対して、$n$ 個の相異なる値を保証する最小の $m$ は、$2n-1$ 以上で最小の素数または2の累乗に等しいか？
• RQ4 $k(dk-1) \mod m$ の相異なる性質を満たす最小の $m$ は $d$ の累乗を返し、その条件は何か？
• RQ5 $E_{2k} \mod m$ の値が相異なるようにする最小のモジュラスは特徴付け可能か？ また、それはいつ素数か？

主な発見

• 関数 $S(n)$ は、$k = 1, \dots, n$ に対して $2k(k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m > 1$ として定義され、これは $2n - 2$ よりも大きい最小の素数に等しい。
• 関数 $T(n)$ は、$k = 1, \dots, n$ に対して $k(k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m > 1$ として定義され、これは $2n - 1$ 以上で、かつ素数または2の累乗である最小の整数に等しい。
• $d \in \{2,3\}$ の場合、$k(dk - 1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m$ は、$n$ 以上で最小の $d$ の累乗、すなわち $d^{\lceil \log_d n \rceil}$ に等しい。
• $n \geq 4$ のとき、$18k(3k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m$ は、$3n$ よりも大きい最小の素数 $p$ で、$p \equiv 1 \pmod{3}$ を満たすものに等しい。
• $n \geq 5$ のとき、$4k(4k-1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m$ は、$(8n - 4)/3$ よりも大きい最小の素数 $p$ で、$p \equiv 1 \pmod{4}$ を満たすものに等しい。
• $n \geq 6$ のとき、$4k(4k+1) \mod m$ がすべて相異なる最小の $m$ は、$(8n - 2)/3$ よりも大きい最小の素数 $p$ で、$p \equiv -1 \pmod{4}$ を満たすものに等しい。