[論文レビュー] On $G$--equivariant modular categories

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Jan 12, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 53

ひとこと要約

この論文は、有理的共形場理論の軌道体を一般化するための G-不変型モジュラーテンソルカテゴリーフレームワークを導入し、G-不変型結合カテゴリ C から C/G という軌道体カテゴリを定義する。主な貢献は、拡張されたヴェルリンド行列の非退化性によるモジュラリティの特徴付けであり、C がモジュラーであることと C/G がモジュラーであることの同値性を示し、s 行列を用いて結合積と畳み込み積の関係を明示的に定式化する。

ABSTRACT

In this paper, we study $G$-equivariant tensor categories for a finite group $G$. These categories were introduced by Turaev under the name of $G$-crossed categories; the motivating example of such a category is the category of twisted modules over a vertex operator algebra $V$ with a finite group of automorphisms $G$. We discuss the notion of "orbifold quotient" of such a category (in the example above, this quotient is the category of modules over the subalgebra of invariants $V^G$). We introduce an extended Verlinde algebra for a $G$-equivariant tensor category and give a simple description of the Verlinde algebra of the orbifold category in terms of the extended Verlinde algebra of the original category. We define an analog of $s,t$ matrices for the extended Verlinde algebra and show that if $s$ is invertible, then these matrices define an action of $SL_2(Z)$ on the extended Verlinde algebra. We also show that the $s$-matrix interchanges tensor product with a much simpler product ("convolution product"), which can be used to compute the tensor product multiplicities.

研究の動機と目的

• 群作用を用いた有理的共形場理論における軌道体モデルの数学的形式主義を構築すること。
• 有限群の対称性を含む標準的モジュラーカテゴリの一般化である G-不変型モジュラーテンソルカテゴリを定義すること。
• 元のカテゴリ C とその軌道体商 C/G のモジュラリティの間の対応関係を確立すること。
• 非可換な拡張ヴェルリンド代数を用いて、G-不変型設定におけるヴェルリンド公式を一般化すること。
• C のモジュラリティと C/G のモジュラリティが同値であることを示し、特に非ねじれセクター C1 への影響を明らかにすること。

提案手法

• Turaev の G-クロスドカテゴリの一般化として、群作用を伴う G-次数付き剛体 braided monoidal category として G-不変型結合カテゴリを定義する。
• C が twisted V -モジュールのカテゴリであるとき、C/G を商結合カテゴリとして構成し、それが V G-モジュールに対応することを示す。
• 穴のないトーラスに関連する非可換一般化として、通常のヴェルリンド代数の一般化である拡張ヴェルリンド代数 eV(C) を導入する。
• eV(C) に対して s 行列を定義し、非退化である場合に SL2(Z) の作用を与えることを証明し、これにより G-不変型モジュラーカテゴリを定義する。
• 双線形形式と s 行列を用いて、テンソル積 ⊗ と畳み込み積 ∗ の関係を特定し、s が二つの代数構造を埋め込むことを示す。
• s 行列の可逆性と Frobenius-Perron 次元の性質を用いて、C/G のモジュラリティが C のモジュラリティを意味すること、およびその逆を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-不変型結合カテゴリ C がモジュラーである条件は何か？ そして、その軌道体商 C/G のモジュラリティとはどのように関係するか？
• RQ2 ヴェルリンド代数はどのように G-不変型設定に一般化できるか？ また、s 行列はこの一般化において果たす役割は何か？
• RQ3 s 行列は、拡張ヴェルリンド代数における非可換テンソル積と畳み込み積の間で、どのように関係づけるか？
• RQ4 非ねじれセクター C1 あるいは軌道体カテゴリ C/G のモジュラリティは、全 G-不変型カテゴリ C のモジュラリティを意味するか？
• RQ5 s 行列は、特に G がアーベル群の場合に、G-不変型設定における結合則の計算に用いることができるか？

主な発見

• G-不変型結合カテゴリ C がモジュラーであることと、その軌道体カテゴリ C/G がモジュラーであることの同値性が確立され、元のカテゴリと商カテゴリの間の強い等価性が示された。
• 拡張ヴェルリンド代数 eV(C) は非可換であり、s 行列は eV(C) 上の二つの代数構造（テンソル積 ⊗ と畳み込み積 ∗）の間の同型を与える。
• s 行列は s(x ⊗ y) = D s(y) ∗ s(x) および s(x ∗ y) = (1/D) s(x) ⊗ s(y) を満たし、G-不変型設定におけるヴェルリンド公式の一般化を実現する。
• G がアーベル群であり、コhomology 群が自明な場合、畳み込み積 ∗ は可換になり、s 行列が結合則を対角化する形で、標準的ヴェルリンド公式と類似した方法で作用する。
• Frobenius-Perron 次元について、p+(C) = |G| · p+(C/G) および p−(C) = |G| · p−(C/G) が成り立ち、元のカテゴリと軌道体カテゴリの次元を結びつける。
• C1 = Vec である場合、C はある ω ∈ H3(G, C×) に対して、ねじれ G-次数付きベクトル空間のカテゴリ GVecω とモノイダル同値であることが示され、自明な非ねじれセクターにおける分類が得られた。