[論文レビュー] On Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most 3

Fábio Botler, Maycon Sambinelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、木幅が3以下のグラフについてGallaiの予想とHajósの予想を検証し、そのようなグラフがそれぞれサイズが⌊n/2⌋未満、および⌊(n−1)/2⌋未塔のパス分解をもつことを証明している。主な貢献は、 tighter な境界⌊n/2⌋を満たさない木幅≤3のグラフはK₃とK₅−eの2つに限られることを特定し、r-還元部分グラフを用いた新規な還元技法を導入することで、このクラスについて両予想を証明し、最大次数≤4およびサイクル長≥6の平面グラフについて既存の結果を拡張した。

ABSTRACT

A path (resp. cycle) decomposition of a graph $G$ is a set of edge-disjoint paths (resp. cycles) of $G$ that covers the edge set of $G$. Gallai (1966) conjectured that every graph on $n$ vertices admits a path decomposition of size at most $\lfloor (n+1)/2 floor$, and Hajós (1968) conjectured that every Eulerian graph on $n$ vertices admits a cycle decomposition of size at most $\lfloor (n-1)/2 floor$. Gallai's Conjecture was verified for many classes of graphs. In particular, Lovász (1968) verified this conjecture for graphs with at most one vertex of even degree, and Pyber (1996) verified it for graphs in which every cycle contains a vertex of odd degree. Hajós' Conjecture, on the other hand, was verified only for graphs with maximum degree $4$ and for planar graphs. In this paper, we verify Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most $3$. Moreover, we show that the only graphs with treewidth at most $3$ that do not admit a path decomposition of size at most $\lfloor n/2 floor$ are isomorphic to $K_3$ or $K_5-e$. Finally, we use the technique developed in this paper to present new proofs for Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with maximum degree at most $4$, and for planar graphs with girth at least $6$.

研究の動機と目的

• 木幅が3以下のグラフについてGallaiの予想とHajósの予想を解決すること。
• このクラスにおいて、よりタイトなパス分解境界⌊n/2⌋を満たさない最小の例外を同定すること。
• 一般化された還元技法をr-還元部分グラフを用いて開発し、より広いグラフクラスについて予想を証明すること。
• この手法を最大次数が4以下のグラフおよびサイクル長が6以上の平面グラフにまで適用可能にする。
• これまでに検証済みのケースについて、新たな自己完結型の証明を提供すること。

提案手法

• E(H)を削除することで非孤立頂点数が少なくとも2r減少し、かつサイズがr未満のパス分解を許容するr-還元部分グラフHの概念を導入する。
• Hを構成し、残りのグラフG′が各成分C′について⌊|V(C′)|/2⌋のパス分解境界を満たすようにする。
• HとG′の分解を組み合わせて、サイズが⌊n/2⌋未満のグローバルなパス分解を構成し、木幅≤3のグラフについてGallaiの予想を証明する。
• 同じ還元戦略をサイクル分解に適応し、同様のクラスについてHajósの予想を検証する。
• この技法を用いて、最大次数≤4のグラフおよびサイクル長≥6の平面グラフについて、Gallaiの予想とHajósの予想を再証明する。
• ケース解析とサイクル分解構成（例：D₁からD₆）を用いて、部分グラフ内のサイクル数の境界を検証し、対称性と極値仮定を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木幅が3以下のグラフの中で、サイズが⌊n/2⌋未塔のパス分解をもたないものはどれか？
• RQ2 r-還元部分グラフ技法を用いて、木幅≤3のグラフについてGallaiの予想を検証できるか？
• RQ3 同じ手法が、木幅≤3のグラフについてHajósの予想を検証するために拡張可能か？
• RQ4 この還元技法を最大次数≤4のグラフおよびサイクル長≥6の平面グラフについて、Gallaiの予想とHajósの予想を証明するために適用できるか？
• RQ5 木幅≤3のグラフの中で、よりタイトなパス分解境界に対して最小の反例は何か？

主な発見

• 木幅が3以下のグラフの中で、サイズが⌊n/2⌋未塔のパス分解をもたないのは、K₃またはK₅−eに同型であるものに限られる。
• すべての木幅が3以下のグラフについてGallaiの予想は成り立ち、パス数は⌊n/2⌋未塔であるが、K₃とK₅−eを除く。
• すべての木幅が3以下のオイラー型グラフについてHajósの予想が検証され、サイクル数は⌊(n−1)/2⌋未塔である。
• 本稿は、最大次数が4以下のグラフについてGallaiの予想とHajósの予想の新たな証明を提供する。
• この技法は、サイクル長が6以上の平面グラフについて、両予想を効果的に検証した。
• r-還元部分グラフを用いた還元法は、局所的分解とグローバルな境界を組み合わせることで、複数のグラフクラスについて予想を証明するのに有効である。