[論文レビュー] On Gaps Between Primitive Roots in the Hamming Metric

Rainer Dietmann, Christian Elsholtz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は素数 $p$ を法とする整数と原始根のハミング距離を研究し、任意の整数 $n \in [1,p]$ が、$r$ を $p$ のビット長として、高々 $0.11002786\ldots r$ ビットの反転で原始根に変換可能であることを示している。これは古典的なバーガス評価を改善し、原始根および二次非剰剰剰数のハミング距離におけるスパarsity（疎らかさ）と分布に関するより鋭い評価を確立する。

ABSTRACT

We consider a modification of the classical number theoretic question about the gaps between consecutive primitive roots modulo a prime $p$, which by the well-known result of Burgess are known to be at most $p^{1/4+o(1)}$. Here we measure the distance in the Hamming metric and show that if $p$ is a sufficiently large $r$-bit prime, then for any integer $n \in [1,p]$ one can obtain a primitive root modulo $p$ by changing at most $0.11002786...r$ binary digits of $n$. This is stronger than what can be deduced from the Burgess result. Experimentally, the number of necessary bit changes is very small. We also show that each Hilbert cube contained in the complement of the primitive roots modulo $p$ has dimension at most $O(p^{1/5+ε})$, improving on previous results of this kind.

研究の動機と目的

• 整数 $n$ を素数 $p$ を法とする原始根に変換するための最小ビット反転数を、ハミング距離の観点から調査する。
• 原始根の間隔に関する古典的バーガス評価 $p^{1/4+o(1)}$ を、加法的距離の代わりにハミング距離を用いることで改善する。
• 原始根および二次非剰剰剰数のスパarsity（疎らかさ）を、それらの最小ハミング重みを評価することで分析する。
• 素数 $p$ を法とする原始根または二次非剰剰剰数の補集合に完全に含まれるヒルベルト立方体の最大次元を研究する。
• これらの評価が、バイナリ空間内でのこのような数論的集合の分布および密度に与える影響を探索する。

提案手法

• 与えられた $n$ の周囲のハミング半径 $s$ の球内にある整数における指標和推定を用いて、原始根の密度を分析する。
• 文献[22]および[1]の結果を応用し、バイナリエントロピー関数 $H(\gamma)$ を用いてハミング近傍上の指数和を評価する。
• $H(\rho) = 1/2$ を $[0, 1/2]$ 内で満たす唯一の解 $\rho_0$ を定義し、原始根に到達するための最適ビット反転閾値を決定する。
• ハミング球のサイズをモデル化するために、バイナリエントロピー関数 $H(\gamma) = \frac{-\gamma\log\gamma - (1-\gamma)\log(1-\gamma)}{\log 2}$ を用いる。
• 最近の[2]の結果を適用して、二次非剰剰剰数の最小ハミング重み $w_p$ の評価を精緻化する。
• 体 $\mathbb{F}_p$ 上のヒルベルト立方体 $\mathcal{H}(a_0; a_1, \dots, a_d)$ を分析し、原始根を避ける立方体の最大次元 $F(p)$ を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化リーマン仮説の下で、$\Delta_p \leq (\rho_0 + o(1))r$ の評価を改善できるか？
• RQ2 $x \to \infty$ のとき、漸近的密度 $f_i(x) = \frac{1}{\pi(x)}\#\{p \leq x : \Delta_p = i\}$ は収束するか？
• RQ3 $\Delta_p$ はすべての素数 $p$ に対して有界であるか、それとも $p$ と共に増加するか？
• RQ4 ほとんどすべての素数において $w_p \leq 2$ が成り立つか、すなわち $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\pi(x)} \sum_{p\leq x} w_p = \frac{3}{2}$ が成り立つか？

主な発見

• 本稿では、$p \to \infty$ のとき $\Delta_p \leq (\rho_0 + o(1))r$ を証明し、$\rho_0 \approx 0.11002786$ は $H(\rho) = 1/2$ の唯一の解である。これは古典的バーガス評価 $p^{1/4+o(1)}$ より顕著に改善されている。
• 二次非剰剰剰数の最小ハミング重み $w_p$ については、$\vartheta_0 = \frac{1}{8\sqrt{e}} \approx 0.07581633$ を用いて $w_p \leq (\vartheta_0 + o(1))r$ の評価を確立した。
• 原始根を避けるヒルベルト立方体の最大次元 $F(p)$ については、$F(p) \leq p^{1/5 + o(1)}$ が成り立ち、以前の $12p^{1/4}$ よりも改善されている。
• 計算的証拠により、$p \leq 10^6$ のほとんどすべての素数において $\Delta_p = 2$ であり、$3 \times 10^6$ 以下の素数のうち $\Delta_p = 3$ となるのはたった24個にとどまり、$\Delta_p \geq 4$ となる素数は存在しない。
• 最小ハミング重み $w_p = 1$ となる素数の割合は約 $1/2$ であり、$W_p = 1$（すなわち $2$ が原始根）となる素数の割合はアーティン定数 $A \approx 0.3739558$ にほぼ一致しており、理論的期待と整合的である。
• 一般化リーマン仮説の下では、$w_p$ の評価を $O(\log r)$ に改善でき、同様に $W_p$ も $O(\log r)$ で抑えられる。これは、原始根を含む集合を効率的に構成可能であることを示唆する。