[論文レビュー] On genera of Lefschetz fibrations and finitely presented groups

Ryoma Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、指定された基本群を持つLefschetzファイブレーションの明示的構成を新たに提示し、Korkmazの最小種数に関する上限を改善する。任意の有限生成群について、n個の生成元と最大関係語長ℓをもつ場合、g ≥ 2n + ℓ − 1の種数gのLefschetzファイブレーションが存在することを証明し、ブレード群、写像類群、対称群、アーベル群を含むいくつかの重要な群について、タイトな種数の上限と下限を確立する。

ABSTRACT

It is known that every finitely presented group is the fundamental group of the total space of a Lefschetz fibration. In this paper, we give another proof which improves the result of Korkmaz. In addition, Korkmaz defined the genus of a finitely presented group. We also evaluate upper bounds for genera of some finitely presented groups.

研究の動機と目的

• 与えられた有限生成群を全空間の基本群として実現する、新しい明示的構成によるLefschetzファイブレーションの提供。
• 関係の語長を用いて、Korkmazの結果と比較して、そのようなファイブレーションに必要な最小種数の上界を改善すること。
• 有限生成群の種数を、その基本群をもつLefschetzファイブレーションの最小種数として定義すること。
• ブレード群、ハイパーエリプティック写像類群、対称群を含む特定の群について、種数の鋭い上界と下限を確立すること。
• 自由アーベル群と有限巡回群の直積への種数の上限を拡張すること。

提案手法

• 曲面の写像類群におけるモノドロミー因子分解を用いたLefschetzファイブレーションの構成。
• 曲面におけるデーン回転と曲線系を用いて、群の提示に対応するモノドロミー関係を実現すること。
• W関係（写像類群におけるW = 1）を基本構成とし、その後、共役と追加のデーン回転を用いて変更すること。
• 固定された曲線と一次に交わる曲線を用いたモノドロミー変更の系列を導入し、これにより対応するループが基本群で自明になるようにすること。
• 消失サイクルとモノドロミー関係 t_{c1}...t_{cn} = 1 を用いて、全空間の基本群の提示を導出すること。
• 命題2.2を適用し、消失サイクルと一次に交わる曲線が、全空間の基本群で自明になることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限生成基本群をもつLefschetzファイブレーションの最小種数は何か？
• RQ2 関係の語長を用いることで、与えられた有限生成群を実現するために必要な種数の上界を改善できるか？
• RQ3 ブレード群、対称群、写像類群といった古典的群の正確な種数の上限は何か？
• RQ4 アーベル群と有限群の直積の種数は、生成元の数と和因子の位数にどのように依存するか？
• RQ5 有限生成群の種数は適切に定義されており、有効に境界づけられるか？

主な発見

• 任意の有限生成群 Γ = ⟨g₁,…,gₙ | r₁,…,rₖ⟩ について、最大関係語長ℓをもつ場合、すべての g ≥ 2n + ℓ − 1 に対して、π₁(X) ≅ Γ となる種数gのLefschetzファイブレーションが存在する。
• n ≥ 3 のとき、ブレード群 Bₙ の種数は 2 ≤ g(Bₙ) ≤ 4 を満たし、g(B₂) = 1 である。
• g ≥ 1 のとき、ハイパーエリプティック写像類群 H_g の種数は 2 ≤ g(H_g) ≤ 4 を満たす。
• n ≥ 3 のとき、n個の穴あき球面の写像類群 M₀,ₙ の種数は 2 ≤ g(M₀,ₙ) ≤ 4 を満たし、g(M₀,₂) = 2 である。
• n ≥ 3 のとき、対称群 Sₙ の種数は 2 ≤ g(Sₙ) ≤ 4 を満たし、g(S₂) = 2 である。
• n+k ≥ 3 のとき、直積 ℤⁿ ⊕ ℤₘ₁ ⊕ ⋯ ⊕ ℤₘₖ の種数は (n+k+1)/2 ≤ g ≤ n+k+1 を満たす。