[論文レビュー] On general characterization of nonlinear gauge transformations

Marek Czachor|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 1997

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、複素数場 $\psi(x)$ を用いて定義される非線形ゲージ変換（NGT）を調査し、$\text{Arg}\, z$ の異なる分岐において変換を指定しない限り、NGT は群をなさないことを示している。得られる構造は実数パラメータでパrameter化された半群であり、変換則における $\gamma$ パラメータが複素数となる。主な発見は、密度行列のエルミート性がゲージ依存的になることであり、非線形ゲージ理論における観測量のゲージ不変性という仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

Nonlinear gauge transformations (NGT) defined in terms of $\\psi(x)$ do not form a group. To get a group property one has to consider transformations that act differently on different branches of Arg$ z$ and the knowledge of the value of $\\psi(x)$ is not sufficient for a well defined NGT. NGT that are well defined in terms of $\\psi(x)$ form a semigroup parametrized by a real number leads to NGT with complex $\\gamma$. It follows that Hermiticity of density matrices is a gauge dependent property.

研究の動機と目的

• 非線形ゲージ変換（NGT）の代数的構造を、特に $\psi(x)$ を通じて定義された場合の群をなさない理由を明確化すること。
• NGT が複素数位相 $\text{Arg}\, z$ の異なる分岐にわたって一貫して定義可能となる条件を調査すること。
• このような変換が物理的性質のゲージ不変性、特に密度行列のエルミート性に与える影響を特定すること。

提案手法

• 変換が $z = \psi(x)$ の偏角に依存する複素数場 $\psi(x)$ を用いて NGT を分析する。
• $\text{Arg}\, z$ のリーマン面における異なるシートで変換の振る舞いが異なることを考慮し、一貫性を回復するための分岐依存変換則を導入する。
• 実数パラメータを用いて NGT のパラメータ族を構成し、変換則における $\gamma$ が複素数となるようにする。
• 可逆性の欠如により、適切に定義された NGT の集合が群ではなく半群をなすことを示す。
• このような NGT における密度行列の変換性を検討し、エルミート性のゲージ依存性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ $\psi(x)$ のみで定義される非線形ゲージ変換は群をなさないのか？
• RQ2 $\text{Arg}\, z$ の多価性は非線形ゲージ変換の一貫性にどのように影響するか？
• RQ3 適切に定義された非線形ゲージ変換が形成する代数的構造は何か？ また、そのパラメータ化はどのように行われるか？
• RQ4 $\gamma$ のゲージ依存性は、密度行列の物理的解釈にどのように影響するか？
• RQ5 非線形ゲージ変換の下で密度行列のエルミート性は保存されるのか、それともゲージ依存的なのか？

主な発見

• $\psi(x)$ のみで定義される非線形ゲージ変換は、位相 $\text{Arg}\, z$ の曖昧さのため群をなさない。
• 一貫した NGT を得るには、$\text{Arg}\, z$ の異なる分岐における振る舞いを明示的に指定する必要があり、$\psi(x)$ の値だけでは十分ではない。
• 適切に定義された NGT は実数パラメータでパラメータ化された半群をなし、変換則における $\gamma$ パラメータが複素数となる。
• 密度行列のエルミート性はゲージ不変ではなく、非線形ゲージ変換の選択に依存する。