[論文レビュー] On general position sets in Cartesian grids

Sandi Klavžar, Gregor Rus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、パスとサイクルのカルテシアン積における一般位置番号（gp-番号）を調査し、グリッド $P_r \square P_s$ に対して正確な公式を導出し、シリンダ $P_r \square C_s$ のgp-番号を特定し、トーラス型グリッド $C_r \square C_s$ および無限大3次元グリッドに対して下界を確立する。また、ハミンググラフおよびカルテシアンべき乗に対しても確率的下界を提示する。

ABSTRACT

The general position number ${ m gp}(G)$ of a connected graph $G$ is the cardinality of a largest set $S$ of vertices such that no three pairwise distinct vertices from $S$ lie on a common geodesic; such sets are refereed to as gp-sets of $G$. A formula for the number of gp-sets in $P_r \,\square\, P_s$, $r,s\ge 2$, is determined. The general position number of cylinders $P_r \,\square\, C_s$ is deduced, while ${ m gp}(C_r \,\square\, C_s)$ is bounded from the below by $6$, whenever $r\ge s eq 4$ and $r\ge 6$. It is proved that ${ m gp}(P_{\infty} \,\square\, P_{\infty} \,\square\, P_{\infty}) \ge 14$. A probabilistic lower bound on the general position number of Hamming graphs and of Cartesian graph powers is also achieved.

研究の動機と目的

• パス $P_r \square P_s$ のカルテシアン積の一般位置番号を、$r,s \geq 2$ の範囲で特定すること。
• シリンダ型グリッド $P_r \square C_s$ の一般位置番号を計算すること。
• トーラス型グリッド $C_r \square C_s$ の一般位置番号に対する下界を確立すること。ただし $r \geq s \geq 4$ かつ $r \geq 6$ の場合で、最小値は6である。
• 無限大3次元グリッド $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ における一般位置番号を分析し、それが14以上であることを証明すること。
• ハミンググラフおよびカルテシアングラフべき乗における一般位置番号に対する確率的下界を導出すること。

提案手法

• 地図的自由な頂点3つ組に関する組合せ的および幾何的議論を用いて、$P_r \square P_s$ における一般位置集合（gp-集合）の数に対する閉形式の公式を導出する。
• パス・サイクル積における地図の構造的分析を適用し、$P_r \square C_s$ におけるgp-集合の最大サイズを特定する。
• 対称性とサイクル構造を用いて、$r \geq s \geq 4$ かつ $r \geq 6$ の場合に $m_{gp}(C_r \square C_s) \geq 6$ が成り立つことを示し、大規模な地図的自由集合の存在に基づく。
• 構成的技法を用いて、無限大3次元グリッド $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ にサイズ14のgp-集合を提示し、下界を証明する。
• 確率的技法を適用してハミンググラフおよびカルテシアンべき乗における一般位置番号を推定し、漸近的下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス・パス積 $P_r \square P_s$（$r,s \geq 2$）における一般位置集合の正確な数は何か？
• RQ2 シリンダ型グリッド $P_r \square C_s$ の一般位置番号は何か？
• RQ3 トーラス型グリッド $C_r \square C_s$ の最小一般位置番号は、$r \geq s \geq 4$ かつ $r \geq 6$ の場合に何であるか？
• RQ4 無限大3次元グリッド $P_\infty \square P_\infty \square P_\infty$ の一般位置番号は何か？
• RQ5 確率的手法により、ハミンググラフおよびカルテシアングラフべき乗における一般位置番号に対して非自明な下界を導出できるか？

主な発見

• $P_r \square P_s$ におけるgp-集合の数に対する正確な公式が確立され、このような集合の完全な組合せ的特徴付けが得られた。
• $P_r \square C_s$ の一般位置番号が完全に特定され、最大サイズのgp-集合がサイクルおよびパス成分の構造に依存することが示された。
• 条件 $r \geq s \geq 4$ および $r \geq 6$ を満たすトーラス型グリッド $C_r \square C_s$ に対して、一般位置番号は6以上であることが保証され、特定の状況ではこの下界がタイトである。
• 構成的例により、$m_{gp}(P_\infty \square P_\infty \square P_\infty) \geq 14$ であることが示され、無限大3次元ケースにおける非自明な下界が確立された。
• 確率的手法により、ハミンググラフおよびカルテシアングラフべき乗における一般位置番号に対して非定数の下界が得られ、これらの構造に大きなgp-集合が存在することを示唆した。