[論文レビュー] On generalised Paley graphs and their automorphism groups

Tian Khoon Lim, Cheryl E. Praeger|arXiv (Cornell University)|May 10, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般化されたペイリー・グラフの自己同型群を特徴づけ、連結でかつハミング型でない場合、その群がアフィン型の単純型であることを証明し、これらのグラフがハミング・グラフと同型となる正確な条件を特定する。また、関連する巡回的配置の単純性に関する明確な基準を確立し、自己同型群が1次元アフィン群に等しくなる条件を同定する。

ABSTRACT

The generalised Paley graphs are, as their name suggests, a generalisation of the Paley graphs, first defined by Paley in 1933 (see \cite{Paley}). They arise as the relation graphs of symmetric cyclotomic association schemes. However, their automorphism groups may be much larger than the groups of the corresponding schemes. We determine the parameters for which the graphs are connected, or equivalently, the schemes are primitive. Also we prove that generalised Paley graphs are sometimes isomorphic to Hamming graphs and consequently have large automorphism groups, and we determine precisely the parameters for this to occur. We prove that in the connected, non-Hamming case, the automorphism group of a generalised Paley graph is a primitive group of affine type, and we find sufficient conditions under which the group is equal to the one-dimensional affine group of the associated cyclotomic association scheme. The results have been applied in \cite{LLP} to distinguish between cyclotomic schemes and similar twisted versions of these schemes, in the context of homogeneous factorisations of complete graphs.

研究の動機と目的

• 一般化されたペイリー・グラフが連結である条件を特定すること。これは、関連する巡回的関係体系が単純であることに対応する。
• 一般化されたペイリー・グラフがハミング・グラフと同型となる正確な条件を同定すること。これは、自己同型群が著しく大きいことを示唆する。
• 連結でハミング型でない場合の一般化されたペイリー・グラフの自己同型群を特徴づけ、それがアフィン型の単純群であることを示すこと。
• 一般化されたペイリー・グラフの自己同型群が1次元アフィン群 $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ に等しくなる十分な条件を確立すること。
• 巡回的関係体系の自己同型群とその関係グラフの自己同型群の間の不一致を解消すること。特に、完全グラフの同型因子分解の文脈において。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上で、$\mathbb{F}_q^*$ の部分群 $S$ を用いて一般化されたペイリー・グラフを定義し、$S$ に属する差分によって辺を定義する。
• 対称的巡回的関係体系 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ の構造を用いて、関係グラフとその自己同型群を分析する。
• $q-1$ と $p^a - 1$ の整除条件に基づく群論的基準を用いて、体系の単純性を決定する。ここで $a$ は $R$ の適切な真の約数である。
• McConnel (1963) の結果 $\mathrm{Aut}(\mathrm{Cyc}(q,k)) \leq \mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ を基礎的な上限として用いる。
• 特に $\mathrm{AGL}(R,p)$ と $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ の文脈において、表現論と最大部分群を用いて自己同型群の構造を分析する。
• 有限群のアトラスを用いて、単純群の自己同型群内の要素の位数を上限化し、分類における背理法的議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的巡回的体系 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ が単純であるのはどのような条件下か？
• RQ2 一般化されたペイリー・グラフがハミング・グラフと同型となるのはいつか？
• RQ3 一般化されたペイリー・グラフが連結でハミング型でない場合、その自己同型群の構造は何か？
• RQ4 一般化されたペイリー・グラフの自己同型群が1次元アフィン群 $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ に等しくなるのはいつか？
• RQ5 一般化されたペイリー・グラフの自己同型群は、その関係する巡回的体系の自己同型群とどのように関係するか？

主な発見

• 巡回的体系 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ は、$k$ が $R$ の適切な真の約数 $a$ に対して $\frac{q-1}{p^a - 1}$ で割り切れないとき、かつそのときに限り単純である。ここで $q = p^R$ である。
• 一般化されたペイリー・グラフ $\mathrm{GPaley}(q, \frac{q-1}{k})$ は、$k = \frac{a(q-1)}{R(p^a - 1)}$ を満たす $R$ の適切な真の約数 $a$ が存在するとき、かつそのときに限りハミング・グラフと同型である。
• 連結でハミング型でない場合、一般化されたペイリー・グラフの自己同型群は、$\mathbb{Z}_p^R$ を含む $\mathrm{AGL}(R,p)$ の単純部分群である。
• もし $k$ が $p-1$ を割るならば、$\mathrm{Aut}(\Gamma) = \mathrm{Aut}(\mathrm{Cyc}(q,k)) < \mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ であり、自己同型群は完全なアフィン群よりも厳密に小さい。
• すべての場合において、体系 $\mathrm{Cyc}(q,k)$ の自己同型群は $\mathrm{A\Gamma L}(1,q)$ に含まれる。これは McConnel の結果を確認する。
• 最大部分群の分類と、有限群のアトラスからの要素の位数の上限を用いて、不可能なケースを除外し、背理法により主要な定理を証明した。