[論文レビュー] On Generalizations of the Pell Sequence

Fügen Torunbalcı Aydın, Kevser Köklü|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の整数パラメータ p と q を用いて、ペル数列の一般化として、一般化ペル数列、一般化複素ペル数列、一般化双対ペル数列の3つの一般化を導入し、それらを分析する。これらの数列に対して、再帰関係、ビネットの公式、銀比、およびベクトル演算（内積、外積、混合積）を導出し、古典的ペル数の性質を複素数および双対数の代数的構造へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the generalized Pell sequence, the generalized complex Pell sequence and the generalized dual Pell sequence using the Pell numbers. We obtain special cases of these sequences. Furthermore, we give recurrence relations, vectors, the silver ratio and Binet's formula for the above-investigated sequences.

研究の動機と目的

• 初期値 p と q を任意にとれる一般化された形に古典的ペル数列を拡張すること。
• 複素数および双対数系における一般化ペル数列の代数的および幾何的性質を調査すること。
• 一般化数列に対する再帰関係、ビネットの公式、およびベクトル演算（内積、外積、混合積）を導出すること。
• 一般化された設定における銀比およびペル＝ラクルス数との関係を探索すること。
• 特に p=1, q=0 の場合の特殊ケースおよび極限挙動を提示すること。

提案手法

• 初期値 P_0 = q, P_1 = p を用いて、再帰関係 P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} により一般化ペル数列を定義する。
• 一般化ペル数列を標準ペル数列で表現する：P_n = pP_n + qP_{n-1}。
• 虚数単位 i² = -1 を用いて、一般化複素ペル数列を C_n = P_n + i P_{n+1} として定義する。
• 双対数単位 ε² = 0 を用いて、一般化双対ペル数列を D^P_n = P_n + ε P_{n+1} として定義する。
• 特性方程式 x² - 2x - 1 = 0 の根を用いて、一般化ペル数列のビネットの公式を導出する。
• 数列の実数、複素数、双対数表現におけるベクトル演算（内積、外積、混合積）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ペル数列は、初期値 p と q を任意にとれる形にどのように一般化可能か？ また、再帰構造を保ったままか？
• RQ2 一般化ペル数列の閉形式表現（例：ビネットの公式）および極限挙動は何か？
• RQ3 ペル数列の性質（例：行列式の恒等式、和公式）は、一般化複素ペル数列および一般化双対ペル数列へとどのように拡張されるか？
• RQ4 複素数および双対数系における一般化ペル数列から導かれるベクトルの代数的および幾何的性質は何か？
• RQ5 銀比およびペル＝ラクルス数は、一般化数列とどのように関係しているか？

主な発見

• 一般化ペル数列は、恒等式 P_{n+r} = P_n P_{r+1} + P_{n-1} P_r を満たし、古典的加法公式を拡張する。
• 行列式の恒等式 P_{n-1} P_{n+1} - P_n² = (-1)^n e_p が成り立ち、ここで e_p = p² - 2pq - q² である。
• 一般化ペル数列のビネットの公式は P_n = (p - 2q)P_n + qP_{n+1} であり、P_n と P_{n+1} は標準ペル数列を表す。
• 一般化複素ペル数列 C_n = P_n + i P_{n+1} は同じ再帰関係に従い、実数一般化ペル数列の性質を継承する。
• 一般化双対ペル数列 D^P_n = P_n + ε P_{n+1} は同じ再帰関係に従い、双対数代数を用いたベクトル演算を可能にする。
• 3つの一般化双対ペルベクトルの混合積は恒等的にゼロであり、双対ベクトル空間内での線形従属を示している。