[論文レビュー] On generalized categories of Soergel bimodules in type $A_2$

Thomas Gobet, Anne‐Laure Thiel|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、タイプ $A_2$ の一般化されたソルゲル代数の族の分裂グロテンディーク環を計算し、単純な反射だけでなくすべての反射に対して生成子を定義する。この環は、ランク20の自由 $ olinebreak[4]\mathbb{Z}[v^{ olinebreak[4]\pm 1}]$-代数として提示され、生成子と関係式による表示が与えられ、各反射による共役に関して保存される部分集合 $A \subseteq W$ を用いて、非分解的対象をパラメトライズする。これらは、ねじれた対角の和集合上の正則関数として実現される。

ABSTRACT

In this note, we compute the split Grothendieck ring of a generalized category of Soergel bimodules of type $A_2$, where we take one generator for each reflection. We give a presentation by generators and relations of it and a parametrization of the indecomposable objects in the category, by realizing them as rings of regular functions on certain unions of graphs of group elements on a reflection faithful representation.

研究の動機と目的

• タイプ $A_2$ におけるすべての反射 $t \in T$ に対して $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$ で生成される圏 $\mathcal{C}$ の分裂グロテンディーク環 $\langle\mathcal{C}\rangle$ を計算すること。
• $\langle\mathcal{C}\rangle$ の生成子と関係式による表示を提供し、それがタイプ $\widetilde{A_2}$ のイワハリ＝ヘッケ代数の商であることを示すこと。
• $\mathcal{C}$ の非分解的対象を、ある $t \in T$ に対して $tA = A$ を満たす部分集合 $A \subseteq W$ を用いてパラメトライズし、それらを群元のグラフの和集合上の正則関数として実現すること。
• $\mathcal{C}$ が $R(A)$ と同型でない非分解的代数を含むこと、特に標準的ソルゲル圏 $\mathcal{B}$ よりも厳密に大きい圏であることを示すこと。

提案手法

• 各反射 $t \in T$ に対して $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$ を定義する。ここで $R = \mathcal{O}(V)$ は、反射忠実表現 $V$ 上の多項式関数の環である。
• 同型 $R_w \otimes_R R(A) \cong R(wA)$ や $B_s B_t B_s \cong B_s B_{sts} B_s$ を用いて、生成子間の関係を導出する。
• 非分解的代数を $R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$ として実現し、その次数0成分の解析により、これが非分解的であることを示す。ここで $\mathrm{Gr}(x) = \{(xv,v) \mid v \in V\}$ である。
• $B_t \cong R(\{e,t\})(1)$ を示し、標準的代数と新しいパラメータ化を結びつける。
• $R(A)$ が非分解的であるのは、その次数0成分が1次元であるためであることを用いる。
• 標準的フィルトレーションと部分商構造の比較により、$\mathcal{C}$ の特定の代数、例えば $B_s R_t B_u$ が、$B' \in \mathcal{B}$ に対して $R_w B' R_{w'}$ と同型でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ $A_2$ において、すべての反射 $t \in T$ に対して $B_t = R \otimes_{R^t} R(1)$ で生成される圏 $\mathcal{C}$ の分裂グロテンディーク環 $\langle\mathcal{C}\rangle$ の構造は何か？
• RQ2 $\mathcal{C}$ の非分解的対象はどのようにパラメトライズされ、幾何的実現は何か？
• RQ3 $\mathcal{C}$ に、任意の $A \subseteq W$ に対して $R(A)$ と同型でない非分解的代数が含まれるか？ もしそうなら、それらは標準的ソルゲル圏 $\mathcal{B}$ のものとどのように異なるか？
• RQ4 $\langle\mathcal{C}\rangle$ は $\mathbb{Z}[v^{\pm 1}]$ 上で有限次元であり、生成子と関係式による表示が可能か？
• RQ5 $\mathcal{C}$ とタイプ $\widetilde{A_2}$ のアフィンヘッケ代数との関係は何か？

主な発見

• 分裂グロテンディーク環 $\langle\mathcal{C}\rangle$ は、ランク20の自由 $ olinebreak[4]\mathbb{Z}[v^{\nolinebreak[4]\pm 1}]$-代数である。
• 環 $\langle\mathcal{C}\rangle$ は生成子と関係式による表示をもち、タイプ $\widetilde{A_2}$ のイワハリ＝ヘッケ代数の商と同型である。
• $\mathcal{C}$ の非分解的対象は、ある $t \in T$ に対して $tA = A$ を満たす部分集合 $A \subseteq W$ と一対一対応し、$R(A) = \mathcal{O}(\bigcup_{x \in A} \mathrm{Gr}(x))$ として実現される。
• 例えば $B_s R_t B_u$ のような非分解的代数が $\mathcal{C}$ に存在し、$B' \in \mathcal{B}$ に対して $R_w B' R_{w'}$ と同型でない。これは標準的フィルトレーション構造の不一致に起因する。
• 圏 $\mathcal{C}$ は、$R(A)$ 型代数では得られない、標準的フィルトレーションに複数の $R_x$ を含む代数を含むため、標準的ソルゲル圏 $\mathcal{B}$ よりも厳密に大きい。
• タイプ $A_3$ において、$B_s, B_t, B_u, B_{sts}$ で生成される部分圏には $R(A)$ と同型でない代数が含まれる。また、$\langle\mathcal{C}_2\rangle$ が有限ランクかどうかは未だ不明である。