[論文レビュー] On generalized CIR equations

Michał Barski, Jerzy Zabczyk|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Cox-Ingersoll-Ross (CIR) モデルを一般化し、非負の債券価格を保証し、マルティンググール性（MP）を満たす、Lévy マルティンググールによって駆動されるすべてのアフィン短期金利過程を特徴づける。主な結果は、2つの異なるクラスに分かれる：(1) 索引 α ∈ (1,2] の安定Lévy過程で、F(x) = ax + b (b ≥ 0)、G(x) = cx^{1/α}；(2) 有界変動で正のジャンプを持つLévy マルティンググールで、F(x) = ax + b (b ≥ 0)、G は定数。これらは、非ガウス型で非負の金利動態を有する古典的CIRおよびVasičekモデルを拡張する。

ABSTRACT

The paper is concerned with stochastic equations for the short rate process $R$ $$ dR(t)=F(R(t))dt+G(R(t-))dZ(t), $$ in the affine model of the bond prices. The equation is driven by a Lévy martingale $Z$. It is shown that the discounted bond prices are local martingales if either $Z$ is a stable process of index $α\in(1,2]$,\,$F(x)= ax +b, b\geq 0$, $G(x)=cx^{1/α}, c>0$ or $Z$ must be a Lévy martingale with positive jumps and trajectories of bounded variation, $F(x)= ax +b, b\geq 0$ and G is a constant. The result generalizes the well known Cox-Ingersoll-Ross result and extends the Vasicek result to non-negative short rates.

研究の動機と目的

• Lévy マルティンググールのノイズ Z を持つ形 dR(t) = F(R(t))dt + G(R(t-))dZ(t) の確率微分方程式のうち、短期金利 R(t) が非負であり、割引債価格が局所マルティンググールであるようなものを特定すること。
• 古典的CIRおよびVasičekモデルを、非ガウス型で非負の金利を有するアフィンリターン構造モデルへと拡張すること。
• HJM 条件による非アービテージの成立を保証する、F, G, およびLévy過程 Z に対する明確な条件を同定すること。
• 一般Lévy過程によって駆動される、アフィン的で非負でマルコフ的である短期金利モデルの、初めての完全な特徴づけを確立すること。

提案手法

• HJM（Heath-Jarrow-Morton）条件を用いて、アフィン債券市場における非アービテージの条件を導出し、ドリフト関数 F およびボラティリティ関数 G に対する必要十分条件を特定する。
• Lévy過程 Z のラプラス指数 J(λ) を用いて、アフィン構造 P(t,T) = exp(-A(T-t) - B(T-t)R(t)) に基づく割引債価格のマルティンググール性を分析する。
• フィリポビッチの特徴づけに依存しない、熱方程式および無限小生成作用素解析に基づく新規な手法を採用する。
• 特に有界変動を持つ過程に対して、ジャンプ測度 ν とドリフト・バランス制約を分析することで、SDE 解 R(t) の正値性を保証する条件を導出する。
• 補正付きポアソン測度とマルティンググール不等式を用いて、ν と b に対する特定の可積分性およびバランス条件のもとで、R(t) の非負性を証明する。
• A(v) および B(v) が HJM 条件から導かれる常微分方程式系を満たすことが示され、B(0)=0、A(0)=0、B’(0)=1 を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト F、ボラティリティ G、Lévy過程 Z に対して、短期金利 R(t) が非負であり、割引債価格が局所マルティンググールであるための必要十分条件は何か？
• RQ2 古典的CIRモデルは、ブラウン運動を超えて、索引 α ∈ (1,2] の安定Lévy過程を含む形に一般化可能であり、アフィン構造と非アービテージ性を保ったままか？
• RQ3 G が定数で、Z が正のジャンプと有界変動を持つ場合、SDE の解 R(t) が非負のままであるためのLévy測度 ν とドリフト b に対する条件は何か？
• RQ4 アフィン債券価格公式における関数 A(v) と B(v) は、Lévy過程 Z および関数 F, G の特性とどのように関係するか？
• RQ5 一般Lévy過程によって駆動される、アフィン的で非負でマルコフ的である短期金利モデルを完全に特徴づけることは可能か？ もしそうなら、その構造的制約は何か？

主な発見

• 割引債価格が局所マルティンググールであるための必要十分条件は、(I) Z が索引 α ∈ (1,2] の安定Lévy過程で、F(x) = ax + b (b ≥ 0)、G(x) = c x^{1/α} (c > 0) であるか、(II) Z が正のジャンプと有界変動を持つLévy マルティンググールで、F(x) = ax + b (b ≥ 0)、G(x) ≡ σ > 0 であるかのいずれかである。
• ケース (I) において、B(v) は微分方程式 B’(v) = aB(v) + 1、B(0) = 0 を満たし、A(v) は A’(v) = bB(v) - J(σB(v)) を満たす。ここで J(λ) = c_α λ^α である。
• ケース (II) において、b ≥ σ ∫₀^∞ y ν(dy) が R(t) の非負性を保証する必要十分条件である。
• B(v) は増加関数であり、B’(v) = aB(v) + 1、B(0) = 0 を満たし、A(v) は b ≥ σ ∫₀^∞ y ν(dy) のとき増加関数となる。これにより、債券価格 P(t,T) が T に関して単調減少であることが保証される。
• 証明により、ケース (II) において Z のウィENER部が消えることが示され、補正付きジャンプ測度に負のジャンプが存在する場合には非負性が保証されないことが判明した。
• 解析により、Z がブラウン運動のとき（α = 2）、古典的CIRモデルが回復され、有界変動Lévy過程のケースによりVasičekモデルが非負金利に拡張されることが確認された。