[論文レビュー] On Generalized interval exchange maps: Dynamics and geometry of the Rauzy-Veech induction

Corentin Boissy, Erwan Lanneau|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Z/2Zホロノミーを持つ平坦な曲面上の線形対合への区間交換写像の一般化を提案し、一般化された置換に対するRauzy-Veech誘導の類似物を導入する。一般化された置換の拡張Rauzy類と、単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のストラタの連結成分の間の自然な全単射を確立し、例外的ストラタの完全分類を可能にする。

ABSTRACT

Interval exchange maps are related to geodesic flows on translation surfaces; they correspond to the first return maps of the vertical flow on a transverse segment. The Rauzy-Veech induction on the space of interval exchange maps provides a powerful tool to analyze the Teichmueller geodesic flow on the moduli space of Abelian differentials. Several major results have been proved using this renormalization. Danthony and Nogueira introduced in 1988 a natural generalization of interval exchange transformations, namely the linear involutions. These maps are related to general measured foliations on surfaces (orientable or not). In this paper we are interested by such maps related to geodesic flow on (orientable) flat surfaces with Z/2Z linear holonomy. We relate geometry and dynamics of such maps to the combinatorics of generalized permutations. We study an analogue of the Rauzy-Veech induction and give an efficient combinatorial characterization of its attractors. We establish a natural bijection between the extended Rauzy classes of generalized permutations and connected components of the strata of meromorphic quadratic differentials with at most simple poles, which allows, in particular, to classify the connected components of all exceptional strata.

研究の動機と目的

• Z/2Zホロノミーを持つ平坦な曲面上の線形対合へのRauzy-Veech誘導フレームワークの拡張。
• これらの写像の力学的・幾何的性質と一般化された置換の組み合わせ論の関係の特定。
• 一般化されたRauzy-Veech誘導におけるアトラクターの組み合わせ的特徴付けの提供。
• 単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のストラタの連結成分を、拡張Rauzy類を用いて分類すること。

提案手法

• 平坦な曲面上の線形対合を表す一般化された置換にRauzy-Veech誘導を適応する。
• Z/2Zホロノミーを持つ曲面上の測地線フローに関連する線形対合に対するRauzy-Veech誘導の類似物を定義する。
• 一般化された置換の拡張Rauzy類の構造を分析するための組み合わせ的道具の使用。
• 一般化された置換の拡張Rauzy類とメロモルフィックな二次微分形式のストラタの連結成分の間の自然な全単射の確立。
• 全単射を用いて、単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のすべての例外的ストラタの連結成分を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z/2Zホロノミーを持つ平坦な曲面上の線形対合へのRauzy-Veech誘導はどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された置換に対する一般化されたRauzy-Veech誘導におけるアトラクターの組み合わせ的構造は何か？
• RQ3 一般化された置換の拡張Rauzy類は、メロモルフィックな二次微分形式のストラタの連結成分とどのように関係するか？
• RQ4 単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のすべての例外的ストラタの連結成分は、この枠組みを用いて完全に分類可能か？

主な発見

• 一般化された置換の拡張Rauzy類と、単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のストラタの連結成分との間の自然な全単射が確立された。
• 一般化されたRauzy-Veech誘導は、一般化された置換を用いて、そのアトラクターを効率的な組み合わせ的特徴付けで記述できる。
• この枠組みにより、単純極を高々もつメロモルフィックな二次微分形式のすべての例外的ストラタの連結成分が完全に分類可能となった。
• Z/2Zホロノミーを持つ平坦な曲面上の線形対合の力学は、一般化された置換の組み合わせ論と深く関連していることが示された。